Данная статья иллюстрирует практические возможности новой теории Э.Г. Филичева, которую он назвал системой "m n"-параметров.
В ранее опубликованных на сайте числонавтике статьях показано происхождение этой системы их нового свойства, открытого им нового, ранее неизвестного свойства обычных треугольников.
Теоретический интерес представляет не только само новое свойство, но и прикладные аспекты открытия, которые тоже отражены в публикациях.
Итак, в статье представлена методика и программа расчета пифагоровых треугольников по одиночному исходному числу.
Для работы программы необходимо задать исходное число N и поместить это число в матрицу M1. Программа выполнена в редакторе Mathcad Professional. Результат расчета - матрица выходных данных.
Выходные данные могут быть использованы для различных целей.
Например, для научных исследований дерева пифагоровых троек чисел (ПТ).
Задача:
«Пусть задано произвольное целое число N.
Необходимо определить все пифагоровы треугольники, имеющие одну из сторон равную значению числа N»
Решение:
В системе «mn» параметров любое число можно записать в виде:
N = n2 + 2mn ( 1 )
N = 2m2 + 2mn ( 2 )
N = n2 + 2mn + 2m2 ( 3 )
N = n·( n + 2m ) ( 4 )
N = 2m·( m + n ) ( 5 )
N = ( m + n )2 + m2 ( 6 )
Из анализа этих формул видно, что если число N - катет
искомого ПТ, то решение поставленной задачи можно искать
по двум методикам
Методика с использованием числа А
В формулах ( 1 ) и ( 2 ) имеет место общее слагаемое А = 2mn.
Задавая различные значения А< N, можно, для каждого из А,
определить значения «m n» и далее (по формулам 1,2,3 ) - X,Y,Z.
Задаваемое число А должно пройти все целые значения от 1
до N .
Утверждение 1
«Для любого нечетного числа N
имеется основной пифагоров треугольник вида
ПТ (X, N, X+1)».
Этот треугольник находится на уровне дерева ПТ, определяемого по формуле уровень = (N - 1):2 "
Пример 1
Пусть N = 85 -- > уровень = (85 -1):2 = 42 -- > m = 42, n =1
X = 2m2 + 2mn = 2·(42)2 + 84= 3612
Y = n2 + 2mn = 1 + 84 =85
Z = X + 1= 3613
-- > Имеем ПТ (3612, 85, 3613).
Пример 2
Пусть N = 13415 -- >уровень = (13415 -1):2 = 6707 -- > m = 6707, n =1
X = 2m2 + 2mn = 2·(6707)2 + 13414= 89981112
Y = n2 + 2mn = 1 + 13414 =13413
Z = X + 1= 89981113
-- > Имеем ПТ (89981112,13415, 89981113).
Первый цикл
Задается А
Определяется разность N – А
Определяется значение n = ( N – А )1/2
Проверяется целостность числа n
Если n- целое, то с использованием числа А = 2mn,
определяется m = А:(2 · (N – А )1/2)
Если m- целое, то определяется значения
X = n2 + 2mn
Y = 2m2 + 2mn
Z = n2 + 2mn + 2m2
Значения по п.3.3 записываются в сводную таблицу
Циклические вычисления по п.п. 1-3 проводятся для всех
целых значений А< N.
Пример 3
Дано N = 85 . Необходимо определить все пифагоровы
треугольники один из катетов которых равна 85
В соответствии с первым циклом
Задается А
Определяется разность N – А
Определяется значение n = (N – А)1/2
Проверяется целостность числа n
Если n- целое, то с использованием числа А = 2mn, определяется m = А : (2 · ( N – А )1/2 )
Если m- целое, то определяется значения
X = n2 + 2mn
Y = 2m2 + 2mn
Z = n2 + 2mn + 2m2
При А=1, А=2, А=3 не выполняется пункт 3.1
При А=4 -- > N - A = 85 - 4 = 81 -- > n = 9 -- >m = А : (2 · (N – А)1/2)
