Числонавтика тем и отличается от математики, что старается не забывать о качественной, физической стороне дела (в данном случае – цифр и чисел).
Отзвенели пышные и сенсационные статьи по поводу недавнего открытия нашего соотечественника, математика – Григория Перельмана – доказательства великой гипотезы А. Пуанкарэ.
Однако, мало кому понятен не только математический, но и физический, философский, а главное – практический смысл нового достижения.
В заголовок данной статьи, одной фразой вынесена квинтэссенция проблемы А. Пуанкарэ: “Превратил ли Тор – в Стакан математик Перельман?”
––-(ХХХ)––-
Предисловие по мотивам “Открытого письма В. С. Яроша
вжурнал Annals of Mathematics»
Развёрнутое предисловие от Редакции
Суть проблемы – топологическая гипотеза (её ещё называют “пластилиновой”), которая была сформулированная (в 1904 году) так:
Немного позже было уточнено, что такая формулировка – это всего лишь частный случай обобщенной гипотезы (при n = 3), гласящей, что для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. (Символ “ n “означает здесь « мерность» пространства с которым мы имеем дело).
А теперь разберёмся по-человечески.
«Односвязное компактное «трехмерное многообразие» — это любое трёхмерное тело без дырок. Например: шар, куб, стакан или лист бумаги, где отпечатана эта статья, или даже … человеческое тело (! если оно не имеет никаких сквозных отверстий).
Кстати, тела криминальных бизнесменов (после контрольного выстрела в голову) указанному условию уже не удовлетворяют.
Другие трёхмерные тела с дырками это – тор (бублик), чашка с ручкой, друшлаг. Такие тела уже не являются односвязными.
А ещё там (см. выше) фигурировало слово “гомеоморфизм”?
Гомеоморфизм (от греческого «похожий с виду») — это процесс трансформирования одних тел в другие, путём сжатия или вытягивания каких-либо их частей.
Вот откуда сравнение топологических трансформаций с процессами манипулирования с пластилином (или с резиной)
Из шара легко вылепливается куб, из плоского листа делается шар. А вот из чашки (с ручкой) никак нельзя вылепить ни шар, ни ворону из чашки, ибо имеющееся отверстие (по правилам топологии) нельзя никак залеплять. Также, как и склеивать.
Так вот, топологическая гипотеза Пуанкаре утверждает, что без разрезания и склеивания должен существовать способ трансформирования любого трехмерного тела … в шар.
Предположение вроде бы достаточно очевидное, вот только доказать его оказалось чрезвычайно трудно. Над этой гипотезой математики бились более ста лет.
Перельман решал её (и только её) – целых восемь лет подряд. Математик Андрей Лундин полагает, что само доказательство и метод доказательства Перельмана гораздо важнее, чем модные ныне инновации, и что когда-нибудь практическое применение этого метода принесет не миллион, а миллиарды.
Потому что Перельманом (по ходу дела) была открыта совершенно новая техника, которая обязательно послужит основой для новых отделов математической науки. О топологии любят рассказывать, как о странной науке , где любые «n» – мерные фигуры (тела) сравниваются только по количеству дырок в них.
Поэтому там: чайная чашка = бублику (тору), а футбольный мяч = планете. И прелесть топологии в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Сфера (поверхность планеты) односвязна: потому что как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек обязательно вырежется;
А вот поверхность тора (бублика) двусвязна.
Потому что ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, что сохранит целостность тора (При этом же повторно разрезать цилиндр уже не получится).
В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Как уже отмечалось выше через гомеоморфизм мы достигли понимания о неразличимости чашки и бублика.
В гомеоморфизме всё дело. Это непрерывное преобразование (деформация), которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность).
Чашку легко таким способом легко превратить в тор, а мяч в планету. При этом сохраняются важнейшие топологические инварианты.
Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания.
Первое доказательство самого Пуанкарэ было неверным. Но он сам обнаружил свои неточности и выявил интереснейшие классы трехмерных поверхностей, чем продвинул теорию, т.н. “топологии малых (или низших) размерностей”.
Позже и остальные математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не взять.
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине — в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей.
Но!
Трехмерный случай (“n” = 3 ) оставался камнем преткновения в топологии. А теперь, кое-что об алгоритмической версии гипотезы Пуанкарэ. Есть, оказывается, в вычислительной математике, и такая вариация (подход).
Это весьма интересно для компьютерщиков. Там теорема Пуанкаре формулируется иначе. А именно. Существует ли алгоритм, определяющий (для некоторого заданного кодового слова), Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый знаменитый академик), И. Володин и В. Кузнецов.
Ещё в 1974 году они предположили, что определенное свойство кода (названное ими "волной") дает критерий "сферичности". Но, строго доказать им удалось только, что наличие "волны" гарантирует перед нами сфера.
Доказать, что в любом коде, задающем сферу, имеется "волна", увы, не получалось. Тогда авторы сделали весьма мощный и нетривиальный по тем временам ход — провели масштабный компьютерный эксперимент.
В ЭВМ БЭСМ-6, где случайным образом генерировались коды, задающие трехмерную сферу, в этих кодах проверялось наличие "волны". Так был проверен миллион случайных представлений сферы.
Везде обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла — веский аргумент . Но авторы были серьезными математиками, и поэтому воздержались от поспешных заявлений.
И, спустя пару лет, один из бывших учеников Фоменко обнаружил …. контрпример…
Итак, для высоких размерностей давно известна ее неразрешимость гипотезы пуанкарэ. Для размерности 2 она была решена еще раньше.
А вот в родном трехмерье все почему-то устроено невероятно сложно.
Гипотеза Пуанкаре гласит, что для любой трехмерной фигуры без отверстий всегда найдется какое-то преобразование получить из стакана шар и наоборот. Без всяких там разрывания или склейки поверхности, одной только деформацией, сжатием и растяжением отдельных участков фигур.
А если все наши реальные объекты (тела, фигуры) вмещены вовсе не в трёхмерное пространство не трехмерное, а в пространство с 10-ю или с 11-ю измерениями?
Тогда как?
А это – как раз тот случай, который содержится в формулировке задачи обобщенной гипотезы Пуанкаре, которую и доказал Перельман.
А ведь и на самом деле объекты нашей Реальности при приближения к скорости света описываются уже уравнениями не в трёх, а в четырехмерном пространстве-времени.
Одновременно выясняется, что гравитационное поле искривляет и пространство и лучи света пронизывающие его. И что описывается это математическими моделями, с четырехмерным пространством-временем. Более того, открыт удивительный эффект — наличия и возникновения дополнительных, скрытых, измерений.
(В теории суперструн таких измерений аж 11). Ситуация настолько же революционна и неоднозначна, как и ситуация первых изысканий в атомной физике, которые изначально не имели ничего общего с ядерными бомбами и реакторами.
Пуанкарэ, как основатель топологии, фокусирует наше внимание на внутренних свойствах поверхностей. С точки зрения этих свойств нет различия между тором (бубликом) и кофейной чашкой с ручкой.
В обоих объектах есть одно отверстие, благодаря чему они могут быть преобразованы до полного сходства, не будучи разбитыми, склеенными или разрезанными.
Самая простая из возможных фигур двумерного пространства – это поверхность футбольного мяча. Для тополога это всегда – сфера. Даже когда мяч сдут, растянут или скомкан. Доказательством того, что поверхность является "двусферной", т.е. способной принять энное количество форм, является ее "односвязность"
Это означает, что ее не разрывают никакие "дыры". Но, в отличие от футбольного мяча, чашка с ручкой не является правильной сферой.
Если накинуть на футбольный мяч петлю, её, в принципе, можно стянуть на мяче до отказа, не разрушив при этом односвязности формы мяча. Но, если накинуть петлю на чашку (напротив отверстия в ее ручке), то стянуть петлю, не разбив чашку, становится невозможно.
Поэтому-то топологи и говорят, что “поверхность односвязна”, если на ней любую замкнутую кривую можно путем непрерывной деформации стянуть в точку.
Свойства двумерных поверхностей были хорошо изучены уже к середине девятнадцатого века. Но оставалось не ясным, является ли то, что верно для двумерной поверхности, верным также и для трехмерной поверхности?
Тут Пуанкарэ и выдвинул свою гипотезу, что все замкнутые односвязные трехмерные поверхности (которые не имеют дыр и конечны по размерам) являются сферами.
Ещё проще:
Если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным.
В этом и был скрыт глубочайший смысл теоремы. Ибо любой ответ проливает свет на самую большую из всех изучавшихся (и известных нам) трехмерных поверхностей (пространство) на саму Вселенную.
Таким образом, решение (Г. Перельманом) проблемы Пуанкарэ действительно дает нам возможность для построения математической модели Вселенной.
Или, по меньшей мере, оценить Вселенную, не имея возможности взглянуть на форму её пространства со стороны.
И, как метко заметил российский математик, Владимир Успенский, поскольку, … «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы (в частности для нашей Вселенной) недоступны нашему непосредственному наблюдению, вообразить их также трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота – представить себе “квадратный трехчлен».
И вот теперь, благодаря доказательству Перельмана, узаконена теорема Пуанкарэ, гласящая, что трехмерная сфера нашей Вселенной — это единственная трехмерная штуковина, поверхность которой может быть стянута в одну точку неким гипотетическим «гипершнуром».
Французский тополог оказался прав!
Но этого мало! Если наша вселенная и есть та самая трехмерная сфера, та единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то вполне логично допустить и обратное! А именно, что нашу Вселенную можно …. растянуть из одной точки. Что, как
Вы все понимаете, служит косвенным аргументом, подтверждающим идею теории Большого взрыва (там как раз Вселенная родилась из одной точки).
Получается, что Перельман & Пуанкарэ огорчили — сторонников божественного начала мироздания. А также пролили воду на мельницу физиков-материалистов.
К слову сказать, полного доказательства во всех деталях Перельман так и не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал. А это — доказательство гипотезы Пуанкарэ и геометризации — приложение теории Гамильтона—Перельмана о потоках Риччи».
Но, научный мир сам “загорелся” и, на днях появился 473-страничная статья (или уже книга?) J. W. Morgan, G. Tian, math. DG/0607607, где авторы, по следам Перельмана, приводят свое доказательство гипотезы Пуанкарэ. / Однако, как это всегда бывает в реальной жизни,
окончательная точка ещё никем не поставлена.
Практически сразу возникло множество возражений со стороны исследователей других естественных наук, которые также пытаются составить своё модельное представление об устройстве Вселенной.
И которых доказательство Перельмана вовсе не смущает. Одним из очевидных возражений является Человек, как естественное создание нашей Вселенной.
С топологической позиции человек гомеоморфен тору. Из-за дырки желудочно-пищевого тракта. То есть Человек никак не может быть трансформированным в шар. Но, тогда как он существует в односвязной трёхмерной сфере нашей Вселенной?
Откуда он там взялся?
Я уж не говорю про несозданную пока никем модель для отражения тех качеств, которые ответственны в человеке за проявления таких качеств, как любовь, одухотворенность, сострадание, терпение.....
А вот другой ракурс проблемы моделирования Вселенной, которыцй опирается на представление о вечной и бесконечной (в Пространстве и Времени) Вселенной. Эту догму никто не до сих пор не опроверг. Но, зато, она отвергает доказательство Г. Перельмана.
Стоит вникнуть ещё и в философский аспект теоремы Пуанкарэ-Перельмана.
В работе “Философский смысл теоремы Пуанкаре-Перельмана и проблема глобальной пространственной структуры вселенной” проф. д.ф.н. Дахин А. В., переосмысливает концепт «материи и памяти».
В статье рассмотрен Демокритов дуализм «материи и пустоты», который показан в аспекте теории струн (как дуализм «материи и энергии»), где всё то, что воспринимается как «пустота» является не существующим (пустоты не существует).
Теорема Пуанкаре-Перельмана позволяет переосмыслить философию Демокрита в свете диалектики «пространства и дырок» и требует возвратиться к этим корням. На уровне философии и теорий современной фундаментальной физики автор призывает диалектически соединить концепт «материя и пустота» с концептом «материя и энергия» (или «материя и сингулярность»).
Автор предлагает сделать это на основаниях переосмысления идей А. Бергсона, представленных в книге «Материя и память . Основной вывод состоит в том, что фундаментальный дуализм во вселенной содержит отношение «видимая материя – невидимая историческая память».
Ниже я только обозначу постановку некоторых вопросов в указанной работе.
В философском контексте, в частности, важно отметить, что теорема Пуанкаре-Перельмана содержит имманентно идею о том, что в глобальной Вселенной возможны две структуры пространства.
Одна структура действительно имеет место «если любая петля в пространстве может быть стянута в точку» (Рис. 3)
Другая – «если любая петля не может быть затянута абсолютно» и когда в петле остаётся дырка (Рис.4)
Но, тогда возникают вполне закономерные вопросы. Почему может существовать пространство “с-дыркой”, и почему может существовать пространство “без-дырки”? Как существует пространство “с-дыркой”, и как существует пространство “без-дырки”?
А ещё такой вопрос: “А что находится внутри дырки? и где это « что », когда «дырка» отсутствует?
Не стану более заменять отличную работу д.ф.н. Дахина А. В. своим пересказом.
А всей этой статьёй я предваряю не менее блестящую научную работу глубокого физика и мыслителя В. С. Яроша, который критически осветил проблему Пуанкарэ-Перельмана и модели Вселенной с научных физических позиций.
Статья В.С. Яроша «Физико-геометрическая оценка гипотезы Пуанкарэ» переход по этой :
