В математике и абстрактной алгебры, теория групп изучает алгебраические структуры. Концепция группы является центральным понятием абстрактной алгебры: другие известные алгебраические структуры, такие как кольца, поля и векторных пространства - могут быть рассмотрены как группы и наделены дополнительными операциями и аксиомами.
Одиниз самых важных математических достижений 20-го века стала теория групп. Совместное усилие многих ученых из разных стран, которые привело к прорыву в области математики, завершились в полной классификации конечных простых групп. Было создано около 10 000 страниц и публикаций на данную тему, главным образом в период между 1960 и 1980гг.
Теория групп имеет три основные исторических источника: теории чисел, теории алгебраических уравнений и геометрию. Теоретико-числовая нить была основана Леонардом Эйлером, и сформирована Гауссом - работы по модульной арифметике и добавки и мультипликативных групп, связанных с квадратичностью полей. Первые результаты групповых перестановок были получены Лагранжем, Руффини и Абелем в их стремлении к обобщению полиномиальных уравнений высокой степени. Эварист Галуа ввел термин «группа» и установленное соединение, теперь известная как теории Галуа. В геометрии, группы впервые стали важны в проективной геометрии, а затем и неевклидовой.
Галуа был первым, кто стал использовать группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши отодвинули эти исследования дальше, создав теорию групп перестановок.
Второй исторический источник для групп вытекает из геометрических ситуаций. В попытке справиться с евклидовой геометрией с помощью теории групп, Феликс Клейн инициировал программу Эрланген и в 1884 году, успешно начал использовать ее к аналитическим задачам.
Теория групп была объединена, начиная примерно с 1880 г. С тех пор, ее влияние растет, что приводит к рождению абстрактной алгебры. Классификация конечных простых групп стала плодом огромной работы с середины 20-го века до наших дней и завершилась полной классификацией всех простых групп.
Различные физические системы, такие как кристаллы и атома водорода, могут быть смоделированы с помощью групп по симметрии. Многие коммерческие организации использующие брендинг территорий, применяют ее для внутренней класификации иследуемого региона. Таким образом, теория групп и тесно связана с теорией представлений в физике , химии, материаловедении и разных типов маркетинговых технологий. Теория групп также находится в центре криптографии с открытым ключом!
