Современная теория множеств, которая лежит в основе математической науки, базируется на системе аксиом и с которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.
Предпосылками к созданию такой теории стало открытие некоторых парадоксов, противоречий в так называемой «наивной» теории множеств. Среди таких парадоксов известными являются парадокс Кантора, связанный с проблемой существования «множества всех множеств», или парадокс Рассела, в котором рассматривается «множество всех множеств, которые не включают сами себя в качестве элемента». Такие противоречия обусловлены существованием в «наивной» теории множеств неявного предположения о том, что для любого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, которые имеют это свойство. Этот принцип получил название «принципа свертывания».
Аксиоматические теории множеств вносят некоторые коррективы в этот принцип или иным образом снимают существующие противоречия.
Самой известной из таких систем является система аксиом Цермело-Френкеля (ZF-система), которая накладывает определенные ограничения на принцип свертывания, предлагая взамен ряд специальных аксиом. В этой системе аксиом отдельно выделяется аксиома выбора, отношение к которой в математическом сообществе является противоречивым. Аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора называется ZFC-системой.
ZF-аксиомы были сформулированы в современном состоянии Торальф Сколема в 1922 году, и является развитием системы аксиом Адольфа Френкеля, которая в свою очередь основана на системе аксиом, сформулированной Эрнестом Цермело .
Существуют и альтернативные аксиоматики для построения теории множеств, используемые повсеместно от создания простейших, до проектирования сложных механизмов, например космического корабля - "Шатл". Среди них можно выделить аксиоматику Ноймана-Бернайса-Геделя, которая вводит понятие «класса» как множества, которая не может принадлежать другим множествам, таким образом решая проблемы «наивной» теории. Среди других следует отметить также аксиоматику Рассела-Уайтхеда и NF-аксиоматику Квайна.
