Величайший мыслитель, философ и учёный древности - Пифагор Самосский и в наши дни является неисчерпаемым источником тайн и загадок в самых невероятных областях знания.
И не столько потому, что он был энциклопедистом, а исключительно потому, что осмысленные им числовые (и иные) закономерности Бытия справедливы на века и составляют суть Мироздания.
Поэтому открытия Пифагора бесконечно переоткрываются множеством учёных (самого разного профиля), которые справедливо дают им «свои звонкие имена», но даже не помышляют о том, а не мог ли об этом знать сам Пифагор…
Особый смысл и особую прелесть являют собой числовые загадки Пифагора. Возьмите простую Таблицу умножения Пифагора. Что Вы там увидите?
Да не слишком много… пока не начнёте считать.
Пока не станете воспринимать цифровое поле таблицы, как арену нешуточных закономерностей. Именно так и поступил наш талантливый автор: профессор Сергей Леонидович Василенко…
Приступим к погружению?
-----ХХХ-----
Вступление автора:
Поводом для изложения некоторых мыслей стали необычные исследования авторов [1–3] в части нового «прочтения» ими известной всем (со школы) десятичной таблицы умножения Пифагора (раньше она печаталась на задней обложке всех тетрадок) – фундаментального открытия человеческого гения, ну и конечно, личность самого Пифагора.
Собственно и натуральные (целые) числа прочно вошли в науку вместе с этой замечательной таблицей.
А какие чувства величайшей радости овладевают каждым ребенком, когда он вдруг для себя осознает, что наконец-то он одолел эту строптивую таблицу.
И с эти приходит ни с чем несравнимое удовлетворение: «Я могу! Я умею!».
Мы сейчас не будем обсуждать идею великого Учителя о том, что каждая цифра таблицы исполнена конкретного тайного значения и выражает уникальный образ мистического свойства.
Хотя получаемые результаты, если и не приводят нас к этой тезе вплотную, то все же дают веские основания «по-взрослому» об этом задуматься.
Напомним, что таблица (от лат. tabula доска) – «способ передачи содержания, заключающийся в организации структуры цифровых данных, в которой отдельные элементы помещены в ячейки и каждой из них сопоставлена пара значений – номер строки и номер колонки» [http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица].
То есть, через посредство такой таблицы устанавливается смысловая связь между всеми элементами: результатом умножения и парой чисел, соответствующих номерами столбца и строки.
И, коль скоро пошла речь об идее соответствий, то нам здесь удобнее (наравне с таблицей) воспользоваться другим альтернативным и вполне адекватным методом отображения, известным в математике как числовые "матрицы".
-----ХХХ-----
Нумерологическая таблица умножения Пифагора – это квадратная матрица P 9х9, которая получается из обычной таблицы путем нумерологического сокращения всех чисел в ее ячейках – до цифр.
На Рис.1 показан пример такой матрицы.
Эта таблица начинается и заканчивает ровно.
Вверху и слева – фрагмент натуральный ряда, составленный только из цифр.
Внизу и справа – одни только девятки (тоже – цифры).
Но, в середине, несмотря на то, что таблица отражает результаты умножения, нет прямых указаний, как появляются сами цифры в виде результатов из других цифр исходных сомножителей.
Рис.1
Так же как, формально говоря, нет четкой уверенности в степени связанности или наоборот бессвязности этих цифр в общем контексте, которые могут задавать в конечном итоге мировоззрение порядка и гармонии или наоборот, некую «тональность» хаоса.
Попытаемся непредвзято проследить закономерности этой таблицы.
1. Прежде всего, обратим внимание на то, что исходная таблица (матрица) симметрична относительно диагонали, то есть , где т – символ транспонирования (см. цветовое деление на Рис.2).
Рис.2
А если убрать крайние строку и столбец с девятками, то таблица 8х8 также оказывается симметричной, но только по отношению уже к другой диагонали.
2. Далее воспользуемся интерпретацией нумерологического сокращения как общим приемом теософской редукции [4] – преобразования исходного числа b путем сложения всех его цифр до последнего, минимально возможного значения, пока не получится одна итоговая цифра со следующим обозначением .
Установлено, что для любой клетки (подматрицы) p размером 3х3 или 6х6 нумерологическая сумма ее элементов равна цифре «9»: . Это показано на рис.1 в виде выделения двух цветных квадратов (жёлтого и зелёного).
В какой-то мере эти свойства чисел могут быть обусловлены (объяснены) последней цифрой или знаком c–1, где c – основание системы счисления. В нашем случае «c–1» = (10–1) = 9.
В частности, функция , как говорят математики, является мультипликативной.
То есть, для произвольных двух натуральных чисел , (и не обязательно взаимно простых!), выполняется условие .
Что это означает?
Если нумерологическую операцию мы проведем отдельно для каждого числа, а потом результаты перемножим (как справа), эффект будет тем же самым, как если бы мы сначала перемножили эти числа, а уже от произведения «взяли» теософскую редукцию (как и слева).
Очень даже "тепло", что именно эта связь (свойство, закономерность), возможно, стала для Пифагора первоосновой при установлении взаимоотношений между таблицей умножения и нумерологией в их современном представлении.
3. Далее становится еще интереснее.
Таблица Пифагора является абсолютно самоподобной структурой. В том смысле, что она сама и любая ее квадратная клетка (подматрица p) с любым размером имеет «нумерологический определитель» (детерминант по модулю), равный «9» (а в отдельных случаях, нулю), то есть .
Примеры:
, (1)
, (2)
В приведенной выше формуле (1 или 2) символ обозначает детерминант (определитель квадратной матрицы); а символ "корытце" – слово «или».
Иногда такой «определитель» становится отрицательным. И тогда математиками «оставляется» только его модуль (положительная часть), см. 1-й пример.
Так вот, подобные отношения справедливы для любой клетки таблицы Пифагора.
Отметим, что мы отнеслись к содержимому таблицы Пифагора, в целом как к цифровому массиву данных, из которого позволяем себе производить квадратные матричные выборки и работать с ними по собственному усмотрению.
Это «действо» конечно же, не слишком логично с позиции традиционной математики, так как исходная таблица – нумерологическая.
Но не будем забывать, что операция умножения с ее переходами цифр из младших в старшие разряды чисел и операция "свертывания" чисел по теософской редукции, так или иначе, "взращены" на одном поле и не без безусловного участия Пифагора.
И за счет такого, числонавтического, подхода мы смогли найти новые, как нам представляется, нигде ранее не упоминавшиеся закономерности устроения уникального объекта – таблицы умножения Пифагора.
4. Итак, продолжим наше изложение.
а) Состыкуем четыре матрицы между собой в единый объект (таблицу) и проверим ранее установленные свойства.
Какую бы ячейку мы ни взяли и относительно не построили бы в виде таблички (клетки, подматрицы) со сторонами, кратными трем, ВСЕГДА нумерологическая сумма ее элементов будет равна цифре «9»: .
Это становится справедливым и для матриц с размерами 12х12, 15х15 и т.д. Более того, любая степень такой матрицы или умноженная сколько угодно раз «на себя» дают нам новую матрицу, а последняя - тот же самый результат (в части суммы ее элементов).
б) А что это даст в смысле детерминантов выделенного общего цифрового поля?
Эффект остается тот же! – Для клетки в любом поле и любого размера!
Рис.3
Здесь интересно отметить, что общее пространство выделенного цифрового поля, которое просчитывается на предмет определения детерминанта, может представлять собой результат слияния произвольных подматриц, и не обязательно в их полном исполнении.
Это проиллюстрировано на рис. 4 и рис. 5.
Рис.4
Или так:
Рис.5
В любом раскладе, как показали расчеты, эффект остается один и тот же!
А это – верный признак … константности данного свойства!
Так, для клетки 8х8 (рис. 3), выделенной желтым цветом: определитель равен 0, а нумерологическая сумма .
То же самое и для всей матрицы 18х18 (рис. 3).
В связи с этим возникают интересные «историко-математические вопросы»:
«А мог ли знать об этом сам Пифагор, пусть даже и каким-то своим особым способом»?
И второй вопрос:
«Есть ли способ выяснить – обладал ли Пифагор пониманием сути обнаруженного нами числового феномена?»
Можно уверенно сказать, что подобные определители, особенно больших размеров, тогда (во времена Пифагора) не рассчитывались.
Этот метод анализа числовых данных появился много позже.
Но, вот в общих вопросах о числовых закономерностях, как мы постоянно убеждаемся, Пифагор и прочие древние математики смотрели … гораздо дальше. И нам есть смысл постоянно у них учиться.
А свое время (время от времени) сверять по их часам.
2. Для окаймляющей прямоугольной клетки (подматрицы c) ее «квадрат» выражается как произведение на транспонированную матрицу.
Результат, что и говорить, неожиданный, нетривиальный.
И поэтому, сам по себе замечательный.
Демонстрируем сказанное на конкретном примере (рис.6):
Рис.6
На Рис. 6 показаны две выделенные (цветом) смежные квадратные матрицы (зелено-голубая и желто-зелёная), а также окаймляющая их полоса клеток сиреневого цвета, которая, обратите внимание, может иметь и прямоугольную, а не только квадратную форму.
А вот – результаты расчетов, подтверждающие новую теорему (см. формулировку выше).
Формула 1
Формула 2
Вскрытая здесь закономерность (и теорема об этом)
не зависит от размеров подматриц (клеток),
носит универсальный характер и напоминает … теорему Пифагора
для прямоугольных треугольников.
В целом можно утверждать, что «слиянность» обычной таблицы умножения с идеей "нумерологического сокращения" чисел, придуманных в свое время гением Пифагора, таит в себе возможности открытия и других интересных загадок.
Хотя бы потому, что ученый практически не оставил после себя записей, а доносил свои идеи посредством «Тайного слова – Ученику» и … Чисел, смысл которых было должно знать только посвящённым….
И поэтому нам представляется, что и знаменитая теорема Пифагора (о гипотенузе и катетах) является отнюдь не единственным подобным проявлением чисел.
И это уже просматривается (пусть и косвенно) на примере исследованной нами здесь таблицы умножения.
Литература.
1.Корнеев А.А. «Два источника, две составные части таблицы Пифагора»// Числонавтика –
2. Корнеев А.А.«Мёбиусный образ таблицы Пифагора» // Числонавтика – //
3. Карасев И.В. «Тайны квадрата Пифагора». – .//
4. Василенко С.Л. «Периодичность теософской редукции для линейных возвратных последовательностей» // Академия Тринитаризма. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15368, 27.06.2009. – //.
, где т – символ транспонирования (см. цветовое деление на Рис.2).
.
. Это показано на рис.1 в виде выделения двух цветных квадратов (жёлтого и зелёного).
, как говорят математики, является мультипликативной. 
, (и не обязательно взаимно простых!), выполняется условие 
.
.
, (1)
, (2)
обозначает детерминант (определитель квадратной матрицы); а символ "корытце" 
– слово «или». 
.
