Числонавтика — Триумф и забвение способа Пифагора

Триумф и забвение способа Пифагора Автор М.А. Цайгер    02.09.2009 г.

http://www. numbernautics.ru

© М.А. Цайгер

кандидат технических наук

Триумф и забвение способа Пифагора

Точка зрения редакции (и экспертов) сайта Числонавтики может не совпадать с позицией и мнениями публикуемых авторов.

Редакция оставляет за собой право на необходимые действия в отношении опубликованных ею материалов.  

// Редакционный совет //

О Пифагоре говорить очень сложно, так как о его жизни и деятельности существуют лишь легенды, и трудно отделить правду от вымысла.

Включите компьютер, зайдите в Google, наберите “Пифагор”, и система предложит вам массу страниц о нём, начиная с Википедии, где вы получаете также возможность ознакомиться с переводами древних авторов об этом человеке.

Чтение этих произведений — тяжкий труд, поскольку там слова одного автора не стыкуются со словами других. Я благодарен Александру Викторовичу Волошинову [Волошинов, 2007], который взял на себя большой труд обработать всё, что было сказано о Пифагоре до сих пор, и изложить это в виде достаточно правдоподобной версии [1]…

-----ХХХ-----

(Здесь и далее библиографические отсылки даны в квадратных скобках: фамилия автора и год издания).

Полную информацию см. в разделе Библиография в конце статьи. Отсылки на комментарии также даны в квадратных скобках числом, указывающим их порядковый номер. (См. раздел Комментарии в конце статьи).

Важным элементом этой версии является то, что Пифагор в течение 11 лет, начиная с молодого возраста, обучался у египетских жрецов. Существенной частью этого обучения была египетская арифметика.

Здесь надо сделать небольшой экскурс в историю. Речь идет о периоде VI века до н.э. В это время греки уже использовали для записи чисел свой алфавит.

Систему записи чисел они скопировали с египетской (т.н. иератический и демотический скрипты), смысл системы состоял в том, что для каждого вида единиц (от 1 до 9) существовала эннеяда (девятка, по-гречески) знаков, эннеяда других знаков – для десятков (от 10 до 90), по эннеяде для сотен (от 100 до 900) и для тысяч (от 1000 до 9000).

Греки использовали свой алфавит (24 знака) и три устаревших буквы (эписемы) — всего 27 знаков, т.е. три эннеяды, для единиц, десятков и сотен. На рис.1 приведена таблица знаков греческого числового алфавита (так называемая “ионическая система нумерации”).

Рис.1. Знаки греческого числового алфавита.

Надо сказать, что в VI веке до н.э. греки использовали только прописные (заглавные) буквы, а строчные буквы (показанные на рис. 1) появились у них значительно позже (на рубеже начала нашей эры). Не буду распространяться о мелких деталях записи чисел (например, чтобы отличить число от словесного текста, над всеми буквами числа проводили горизонтальную черту, были приёмы записи чисел, равных единицам тысяч, и др.), об этом подробно расписано в литературе [2].

Кстати, греки в те времена уже писали слева направо, и числа записывали по манере, принятой ещё в древнем Вавилоне. Тогда знаки сложения и вычитания (наши “+” и “–“) ещё не существовали, слагаемые записывали “впритык” друг к другу.

Если левое слагаемое было по своей величине больше правого, то такие числа суммировались. Если же наоборот, левое число было меньше правого, то такое левое вычиталось из правого, и результат воспринимался как разность.

Мы это хорошо знаем по более поздним римским числам: IX = 9, XL = 40, XC = 90. Поэтому, чтобы записать число как сумму компонентов, надо было слева поместить самый больший, а правее — меньший.

И поскольку любой десяток больше любой единицы, а любая сотня больше любого десятка, сложилось правило: писать сначала (слева) сотни, потом десятки и потом — единицы.

Записать число — это ещё полдела. Как складывать и вычитать числа, записанные подобным образом? Для этой цели существовала счётная доска (абак).

Думаю, что эта доска имела специальную конструкцию — абецедарий [3], которую я описал в своей статье [4]. Существовала ли такая счётная доска в натуре? Для ответа на этот вопрос нужно заглянуть в Археологический музей во Флоренции, где хранится “марсилианская табличка”, неоднократно описанная в литературе ([Von Vacano, 1960], p. 34.); ([Немировский, 1983], с. 71).

 В начале XX века в Северной Италии, в селении Марсилиана, расположенном в 20 км от берега Тирренского залива, в нижнем течении реки Албенья (Marsiliana d’Albegna), производились раскопки большого некрополя у греческого поселения в древней греческой колонии на территории Этрурии.

Некрополь датируется примерно 700–650 гг. до н.э. [5]. Поселение представляло собой колонию греков, прибывших с острова Эвбея, расположенного у материковой Греции.

Сначала они жили на “Обезьяньем” (Pithecusae) острове [6] (греки попали на необитаемый остров в нынешнем Тирренском заливе, кишащий обезьянами на деревьях, — картина, которую в настоящее время просто невозможно вообразить), но позже, после сильного землетрясения (Везувий то совсем рядом!) перебрались на материк, в место, которое сейчас занимает селение Марсилиана.

В некрополе вблизи этого поселения и была обнаружена дощечка из слоновой кости вместе со “стилусом” — костяной палочкой для письма по воску, остатки которого обнаружены на внутреннем прямоугольном поле таблички (рис. 2).

Особенность этой таблички в том, что абецедарий (представленный западно-греческим алфавитом VII века до н.э.) на верхнем бортике записан справа налево, т.е. в направлении, противоположном направлению греческого письма. Этот факт всегда смущал исследователей.

В своей классической работе Джеффери ([Jeffery, 1961], p. 236 и далее), описывая алфавит этого абецедария, отмечала, что он, как и некоторых другие абецедарии, найденные в соседних местах, является эвбейским, но это единственный пример (выделено мною. — М.Ц.) алфавитной последовательности, которая записана справа налево.

До настоящего времени специалисты-археологи не могут определённо указать назначение этой таблички.

Рис. 2. Марсилианская табличка (около 700 г. до н.э.).

Её размеры 2 × 3½ дюйма (51 × 89 мм).

Внутреннее прямоугольное поле заполнялось слоем воска,

следы которого сохранились.

Рисунок из интернета ( ).

По моему мнению, эта табличка является греческой счётной доской-абецедарием для вычислений с числами, записанными в греческом числовом алфавите того времени.

В статье ([Цайгер, 2007], стр. 28) я показал, что на счётной доске-абецедарии должен быть именно такой обратный порядок, чтобы получать числа, состоящие из компонентов, записанных в правильном порядке, т.е. старшие разряды слева, а младшие — справа.

На рис. 3 представлены возможные числовые значения букв на табличке.

Общее число букв — 26, буквы для числа 900 нет, но опыт ивритского числового алфавита показывает, что из этой ситуации есть выход — когда надо записать число 900, то можно подряд записать две буквы — для числа 800 и для числа 100.

Вычислитель делал стилусом ямки на восковой поверхности против соответствующих букв и получал число, состоящее единиц, десятков и сотен.

Под ним можно было записать другое число, с другими числовыми компонентами. Тогда легко можно было произвести сложение или вычитание этих чисел.

Рис. 3. Возможные числовые значения букв на марсилианской табличке.

На рис. 4 показан пример сложения на счётной доске-абецедарии. Сама по себе марсилианская табличка была своего рода карманным компьютером того времени, позволявшим производить необходимые расчёты (торговые и технологические, поскольку в тех местах было налажено изготовление бронзовых зеркал).

Жрецы и родственники умершего очевидно решили, что этот предмет крайне необходим его владельцу в загробной жизни.

Рис. 4. Сложение двух чисел на греческой счётной доске-абецедарии:

λε + ις (35 + 16).

В первой строке — первое число (λε ), во второй строке — второе число (ις).

В третьей строке к первому числу добавлены единицы (ς) из второго числа (промежуточный результат — µα).

В четвёртой строке к промежуточному результату добавлены десятки второго числа (ι).

Окончательный результат — να (51).

Я не настаиваю на 100%-ной истинности записанных в таблице на рис. 3 возможных числовых значений букв на марсилианской табличке, повидимому, дальнейшие исследования текстов, включающих записи чисел, позволят кое-что уточнить.

Форма и размеры таблички и используемый материал (слоновая кость) говорят, что это не “опытный образец”, а “серийное изделие” и, вероятнее всего, оно скопировано с аналогичных изделий, применявшихся многие десятилетия, если не столетия, египтянами.

Вернёмся к Пифагору. Египетская арифметика, несомненно, была предметом его пристального внимания.

Сложение и вычитание чисел, записанных в египетской иератической и демотической системах при наличии вышеуказанной счётной доски-абецедария не представляло затруднений. Более того, как мы теперь знаем, даже умножение чисел египтяне производили с помощью остроумной системы сложений удвоенных, учетверённых и т.д. компонентов.

Об этом также подробно излагается в многочисленных историко-математических сочинениях (см. например, [Выгодский, 1967], с. 18 и далее).

Вот читаю у А.В. Волошинова ([Волошинов, 2007], стр. 63): “Возможно, неудовлетворённость бездоказательностью египетской математики ускорила окончательное решение Пифагора возвращаться на родину.

Нужно было ехать домой и создавать свою школу, в которой ясность логики и твёрдость доказательств стали бы главными строительными материалами”. 

И выдвигаю свою гипотезу: Пифагор, обдумывая прогрессии, в т.ч. геометрическую, увидел, что числовой ряд (целые числа в египетской и греческой алфавитной системах) управляется геометрической прогрессией со знаменателем 10. (Всё предыдущее предложение написано в терминах сегодняшнего дня, у Пифагора, возможно, этой отчётливой определённости не было, но интуитивно он это чувствовал).

И он чувствовал, что числа первой эннеяды (от единицы до девяти) являются “главными действующими лицами”. (На самом деле это так и есть — эти числа являются коэффициентами геометрических прогрессий со знаменателем 10: 1, 10, 100.., ...; 2, 20, 200.., ... 9, 90, 900..).

Эти числа он, Пифагор, назвал пифменами. (А может, это потом в его честь назвали?). И он, Пифагор, увидел, что произведения больших целых чисел можно определить в зависимости от произведения пифменов с помощью процедуры, которую я в своей статье ([Цайгер, 2007], с. 35) назвал “лестницей Пифагора” (основные элементы этой процедуры были выделены другими исследователями, например, Хиссом [7], Бойером [Boyer, 1944] [8], Психойосом [Psychoyos, 2005]).

Таблица умножения для пифменов в современной записи греческих букв приведена на рис. 5, а лестница Пифагора показана на рис. 6 [9].

Рис. 5. Таблица умножения пифменов

Рис.6. Лестница Пифагорра для греческого числового алфавита.

В качестве примера произведём методом Пифагора умножение σιγ (213) на λζ (37).

Схема умножения показана на рис. 7. Греки обычно начинали умножение с наивысших порядков. Сначала надо умножить элемент λ множителя во второй строке на все элементы множимого в первой строке, затем то же самое проделать со вторым элементом множителя ζ.

Начинаем со старшего элемента множимого, буквы σ. По лестнице Пифагора (рис. 6) определяем пифмен элемента λ как γ, а ступень — как α, пифмен элемента σ — как β, а ступень – как β.Произведение пифменов γ × β определяем по таблице Пифагора (рис. 5) как равное ς, а сумму ступеней как α + β = γ.

Возвращаемся к лестнице Пифагора, поднимаемся от пифмена ς на ступень γ и находим там значение ͵ς.

Это и есть произведение λ на σ.

Остальные промежуточные произведения определяем по той же схеме. Если результат умножения пифменов получился состоящим из двух элементов, то каждый элемент надо поотдельности поднять по лестнице Пифагора на сумму ступеней сомножителей.

Как мы видим, способ Пифагора позволяет в алфавитной числовой системе получить результат умножения почти так же просто и легко, как в нашей современной десятичной системе

Рис. 7 Умножение чисел σιγ (213) на λζ (37) способом Пифагора

      Несомненно, Пифагор поделился своими мыслями со жрецами, у которых он учился.

И, вероятно, не нашел у них понимания: зачем менять технику счета, которая устоялась уже на протяжении многих столетий? Отбрасывать прочное и надёжное?

Вот тогда и появилась у Пифагора мысль вернуться на родину, организовать свою школу и обучать греков приёму счёта, который значительно проще известного у египтян.

Вернемся к дальнейшей судьбе Пифагора. Он уже в Кротоне, городе в нынешней Италии, организовал школу и обучает учеников. Легенды говорят, что Пифагор учил системе пифагорейских ценностей (приводятся примеры, изречения и т.д.). Но меня настораживает факт, что многие люди в Кротоне стремились, чтобы их дети и жены учились у Пифагора.

Попробуем на минуточку представить те времена. Хозяйство дома требовало постоянного труда и, хотя в доме могли быть рабы, члены семью также принимали активное участие в хозяйстве, отдавать в обучение домочадцев значило лишаться рабочих рук, пусть на время, но всё же.

И что получить?

Пифагорейские ценности, пифагорейскую мораль? Не уверен, что это было причиной. Вероятно, Пифагор обучал своих соседей технике вычислений, которые крайне нужны в любом хозяйстве, торговле, ремесле.

Его ученики разъехались по всей Элладе и пропагандировали то, чему их обучали. И слава Пифагора разнеслась по всему греческому миру, включая дальние колонии.

Любопытный факт:

в 1996 г. в Музее искусства и истории Женевы была выставлена надгробная плита (стела) греческого происхождения (рис. 8). Вот как её описали Шамай и Шарлиг [Chamay et Schärlig, 1998]: “…Мы видим там умершего, сидящего на табурете, покрытом подушкой и сопровождаемом одной подножкой.

Человек безбородый, носит тунику, мантию и обувь. Закрытая левая рука опирается на противоположное бедро, он вытянул правую руку по направлению к таблице, висящей на заднем плане.

Под этой таблицей, покрытой знаками, стоит мальчик со сложенными руками, показанный более маленьким, чем он, вероятно, был, из-за нехватки места.

Одетый в короткую тунику, он выражает робкое и внимательное отношение к учителю, руки скрещены ниже живота. В деталях изображения, отмечаем, помимо таблицы, маленькую цитру [10], которая, по-видимому, висит на перегородке или стропилах помещения.

Значение сцены ясно: мы в школе. Ученик отвечает, контролируемый учителем, который указывает точный пункт в таблице. Очевидно, ученик должен был выучить наизусть то, что записано там, чтобы отвечать на вопрос.

Под изображением высечена строка букв, которая обнаруживает личность учителя: ΠTOΛEMAIOY ΓEΩMETPOY, Геометр Птолемей.

Речь не идет, разумеется, о замечательном математике и об астрономе, имеющем это имя (100–178 гг. н.э.), а о простом провинциальном эрудите, содержащем свою школу, чтобы обучать молодежь, которая говорит по-гречески.

Как видим, образование включало также инструментальную музыку, на что указывает присутствие цитры… отнесём описываемый памятник к началу эллинистической эпохи (III век до н.э.)”.

Таким образом, эта плита была изготовлена лет как минимум на 200 позже того времени, когда умер Пифагор!

Возможно, даже до того, как Архимед чисто математически доказал справедливость способа Пифагора.

Рис. 8. Надгробная плита из Музея искусства и истории Женевы

(III век до н.э.)

Профессор Шарлиг ([Schärlig, 2001], с.100) описал таблицу, отображенную на этом памятнике (рис. 9). Оказалось, что это — таблица умножения, в которой числа записаны в греческой алфавитной системе нумерации (форма некоторых букв позволила датировать плиту).

На рис. 10 приведена выполненная Шарлигом реконструкция этой таблицы, основанная на более позднем (около 100 года н.э.) сочинении Никомаха.

Памятник неопровержимо свидетельствует: через несколько столетий после смерти Пифагора греки заставляли детей учить таблицу умножения!

И её, вероятно, учил Александр Македонский у Аристотеля в детстве. Триумф способа Пифагора! Этот способ уверенно распространился по Греции, а впоследствии – по всем странам, завоеванным Македонским.

Существуют литературные данные, что греки учили считать рабов, поскольку полагали это низким для себя занятием, а учителя логистики (техники арифметических вычислений) получали зарплату вдвое ниже, чем учителя арифметики (понимай — теории чисел).

Рис. 9. Сохранившиеся знаки таблицы на надгробном памятнике

Рис. 10. Реконструкция Шарлигом таблицы умножения ([Schärlig, 2001], стр. 34).

Здесь буква Π (пи) записана в поздней форме, тогда как на рис. 9 она показана в более древнем начертании

Обратимся теперь к комментариям Евтокия Аскалонского (ок. 480 – ок. 540 гг. н.э.) произведений Архимеда (сейчас сказали бы Ашкелонского). Евтокий приводит пример умножения, приведенный на рис. 11.

Греческие числа записаны малыми (строчными) буквами. Умножение производится, начиная со старшей буквы множителя на старшую букву множимого, потом старшей буквы множителя на вторую по старшинству букву множимого и т.д.

Но как Евтокий мог узнать, что произведение ρ на ν равно ͵ε?

Вернитесь к объяснению в примере на рис. 7 и легко получите результат. Своим комментарием Евтокий косвенно подтверждает, что в пятом веке н.э. он ещё знал способ Пифагора!

А теперь перенесёмся в XIV век. Город Константинополь, 1341 год. Византийская империя, под властью которой находились многие другие страны. Её называли Вторым Римом. Правил в ней в те годы император Иоанн V Палеолог.

В одной из комнат Большого императорского дворца монах Николай Артавазд (он был армянином), по прозвищу Рабда, из Смирны, нынешнего Измира, города на турецком берегу Эгейского моря, пишет письмо.

Это был не простой монах, а старший императорский писец. По своей эрудиции и почёту, которым он был окружён, это был, по нынешним меркам, пожалуй, профессор математики. Широко известны два письма, одно из которых он адресует “почтеннейшему докладчику суда”, адвокату Георгу Хачику, второе — Теодору Цавуху из Клазомен, города, расположенного недалеко от Смирны.

Эти письма содержали изложение учебника арифметики того времени. В двух письмах — целая книга! Эти письма оказались не только в Королевской библиотеке французского короля, но и в библиотеке Ватикана в Риме.

Важность значений этих писем было такова, что писцам приказали скопировать их, и сохранилось несколько копий этих писем. Перевод этих писем на французский язык выполнен математиком Полем Таннери [Tannery, 1886], но я остановлюсь только на таблице умножения. Можно представить себе таблицу умножения (рис. 12), в которой заполнена только затемнённая часть.

Понятно, что в остальной части таблицы значения будут повторяться, поэтому она, по сути, не нужна. Мы привыкли к таблице умножения от 1 до10 на тот же диапазон.

Сколько произведений мы запоминаем в школе, когда учим эту таблицу?

Каждая нижеследующая строка имеет на одну клетку меньше, чем вышележащая – убывающая арифметическая прогрессия. Воспользуемся формулой суммы членов такой прогрессии: (1 + 10)/2 × 10 = 55.

Вот сколько значений мы запомнили наизусть в школе.

А в письмах Николая Рабда приведена таблица, в которой исходные значения составляют 4 эннеяды (см. выше) и еще одно значение для первой мириады, т.е. 37 значений.

Эта таблица названа таблицей Паламеда (героя троянской войны, который, по преданию, научил греков считать и делать вычисления).

Значения в ячейках таблицы, расположенных по такой же схеме, как на рис. 12, записаны в греческой алфавитной (ионической) нумерации.

Сколько значений в этой таблице произведений?

Ответ — (1 + 37) : 2 × 37 = 703 [11].

Рис. 11. Пример умножения в греческой (ионической) алфавитной числовой системе (из комментария Евтокия к трактату Архимеда “Измерение круга”. Справа показана запись чисел в современной десятичной системе ([Boyer, 1944], с. 162)

Рис. 12. Схема таблицы умножения.

Популярность, которую приобрели указанные письма Николая Рабда, говорит об одном: Византия и Западная Европа в XIV веке не знали способа умножения, изобретённого Пифагором, того самого способа, который ещё в V веке знал Евтокий.

Ну, объясните мне — в наше время, когда каждый взрослый знает наизусть таблицу умножения 10 × 10, зачем записывать таблицу умножения с диапазоном 10000 × 10000? Ведь любое произведение легко можно получить с помощью таблицы 10 × 10.

Письма Николая Рабда безусловно свидетельствуют о том, что к XIV веку весь мир забыл, что такое способ Пифагора, забыл, как умножать в алфавитной системе нумерации с помощью таблицы Пифагора!

Скажу больше.

В эпоху Советского Союза группой армянских учёных были изучены труды армянского математика VII века н.э. Анания Ширакаци.

В возрасте около 20 лет он начал учиться в школе византийского математика Тюхика в Трапезунде на Чёрном море и провёл в ней 8 лет.

Армянские учёные обнаружили в ереванском хранилище рукописей Матенадаран множество ранее неизвестных текстов Анания Ширакаци, в т.ч. таблицы сложения и вычитания и таблицы умножения.

В древней Армении алфавит, изобретённый в 405 году Месропом Маштоцем, использовался для записи чисел по той же схеме, как и в греческом языке. В армянском алфавите было не три, как в греческом цифровом, а четыре эннеяды (наборов букв) — для единиц, десятков, сотен и тысяч.

Кроме того, для записи числа 10 000 армяне использовали слово “бюр”, подобно греческому слову “мириада” и русскому слову “тьма”. Так вот, в таблицах умножения Анания Ширакаци использовалось те же 37 значений, что и в более поздних (позже на семь веков) таблицах Николая Артавазда Рабда, и в них было записано те же 703 произведения (только армянскими буквами-цифрами) ([Абрамян, Петросян, 1970], с.51) [12].

Вывод аналогичный: уже в VII веке н.э. в Византии забыли, как умножать в алфавитной системе нумерации способом Пифагора! Более того, и Ширакаци, и Рабда приводят таблицы сложения вычитания) чисел, записанных в алфавитной системе нумерации.

А это означает, что у них в руках уже не было счётной доски-абецедария для суммирования-вычитания этих чисел, т.е. в те времена уже забыли о существовании абака, специально предназначенного для этой цели!

Напрашивается вопрос: что же является причиной забвения того, что было известно тем же грекам за несколько столетий до VII века нашей эры?

Вот вероятный ответ на него: в те эллинистические времена все сочинения математического, в частности, характера хранились в виде свитков в Александрийской библиотеке в Египте. Многие важные трактаты копировались писцами и сохранились в Константинополе и Риме.

Но наука об арифметических (в современном смысле этого слова) вычислениях, или логистика, и за науку то не считалась, такие трактаты, по-видимому, не копировались, потому и не сохранились.

И когда Александрийская библиотека была уничтожена, от этих трактатов остались лишь ссылки на них в других сохранившихся трактатах.

В.П. Шереметевский писал почти сто лет назад  ([Шереметевский, 2007], с. 62), что в 392 г. н.э. громадная библиотека, сосредоточенная в храме Сераписа (после пожара александрийского Музея в 47 г. до н.э.), подверглась декрету императора Феодосия и “была отдана на жертву разрушительным инстинктам фанатизированной толпы.

Веками накопленные сокровища эллинской науки подверглись бессмысленному и безжалостному уничтожению”.

В примечании Шереметевский пишет: “Впоследствии делались попытки приписать этот печальный акт нетерпимости магометанам-арабам; так возникла известная легенда об уничтожении александрийской библиотеки халифом Омаром в VII в.; но свидетельство очевидцев доказывает, что она уже не существовала ещё в V в.”.

Итак, то, до чего догадался Пифагор в VI веке до нашей эры, после того как это было забыто, удалось восстановить лишь к концу XX – началу XXI века. Потребовалось более двух с половиной тысячелетий!!!

Мне возражают: умножение простых чисел — это такая нужная вещь в любом хозяйстве, что забыть её невозможно, и никакой пожар в библиотеке не приведёт к исчезновению известного из памяти. Но факты, что я показал выше, требуют объяснения.

И еще вопрос.

Знали ли византийцы и наследники их алфавитной числовой системы (армяне, грузины, славяне) умножение по способу Пифагора в VII–XIV веках н.э.?

Приведенные факты показывают, что не знали…

 

Всё вышеизложенное – предмет дискуссии.

Автор готов отвечать на вопросы,

направленные по адресу

.

 

Комментарии

1. Были и другие версии изложения жизни Пифагора — см., например, [Жмудь, 1990][ Жмудь, 2002], [Без автора, 2004]. Не могу поверить уважаемому историку и поэту А.И.Немировскому [Немировский, 1996], [Немировский, 1998], что Пифагор не обучался в Египте.

2. См. , например, ([Heath, 1921], vol. I, p.31 и далее).

3. Абецедарий – строка из букв алфавита, расположенных в алфавитном порядке. Строго говоря, слово абецедарий относится к латинскому алфавиту, для греческих букв применяется известное нам слово алфавит, для русских букв – азбука, для ивритских букв – агада, для арабских букв – абджадия и т.д. Но когда я пишу счётная доска-абецедарий, это не означает, что на ней – буквы латинского алфавита, просто буквы расположены в алфавитном порядке (точнее, в обратном алфавитном порядке).

4. [Цайгер, 2007], о конструкции абака-абецедария и арифметических действиях на нём см. стр. 28 и далее.

5. См. , например, [Minto, 1921]; [Buonamici, 1932].

6. Ныне — остров Искья.

7. Т.Хисс ([Heath, 1921], р. 55 и далее) называет эту технику вычислений “системой Аполлония” и ссылается на частично сохранившийся трактат Паппа (Pappus, Synagoge, Hultsch, book II, pp. 2–28), но я позволю себе не согласиться с присвоением системе имени Аполлония.

8. Бойер ([Boyer, 1944], стр. 162), комментируя пример умножения из Евтокия (показанный здесь на рис. 11), отмечает, что этот пример содержит больше промежуточных произведений, чем необходимо. Не могу согласиться: три компонента множимого и три компонента множителя дают девять промежуточных результатов, ровно столько, сколько показано на рис. 11. Остаётся их просуммировать на счётной доске-абецедарии.

9. В этой таблице используется один из способов записи больших чисел, когда мириады записываются буквой Μ, после которой записывается количество мириад (десятков тысяч), и затем следует точка, и после точки обычным способом записывается остальная часть числа (см. [Heath, 1921], с. 9) и ([Boyer, 1989], с. 68). Такой стиль удобен при современном компьютерном наборе текста.

10. Музыкальный инструмент.

11. Это число прямо указано на стр. 169 статьи [Tannery, 1886].

12. Число произведений 703 указано на стр. 54. Не знаю, почему авторы книги указывают на этой странице, что «в таблицах умножения Артавазда меньше произведений (чем у А.Ширакаци — М.Ц.)».

Библиография

Абрамян А.Г., Петросян Г.Б., 1970, Анания Ширакаци. – Ереван, изд-во Ереванского университета,

Без автора, 2004, Пифагор. Золотой канон. Фигуры эзотерики. М., Эксмо-пресс

Волошинов А.В., 2007, Пифагор: Союз истины, добра и красоты. изд. 2. М., URSS.

Выгодский М.Я., 1967, Арифметика и алгебра в древнем мире. — 2-е изд., М., Наука,.

Жмудь Л.Я., 1990, Пифагор и его школа. Л Наука.

Жмудь Л.Я., 2002, Зарождение истории науки в античности. – изд. РХГИ, СПб.

Немировский А.И., 1983, Этруски (от мифа к истории). – М.: Наука.

Немировский А.И., 1996,  Пифагор.// Рассказы по истории Древнего мира. – М.: Дрофа, c. 22–60.

Немировский А.И., 1998  Пифагор. – М.: Армада.

Цайгер М.А., 2007, Арифметика у древних славян и в допетровской России, ВИЕТ, 2007, № 2, с. 20–40.

Шереметевский В.П., 2007 Очерки по истории математики. Изд. 3-е. – М., URSS.

Boyer C.B., 1944, Fundamental Steps in the Development of Numeration. – ISIS, vol. 35, No. 2, pp. 153–168.

Boyer C.B., 1989, A History of Mathematics. – J.Wiley.

Chamay J. et Schärlig A., 1998, Représentation d'une table de calcul. – Antike Kunst, 1998, 41 annее, fascicule 1, pp. 52–55, et plache 11.

Minto A., 1921, Marsigliana d’Albegna. – Firenze.

Buonamici, G., 1932, Epigrafia Etrusca. – Florence.

Heath T., 1921 A History of Greek Mathematics. – Oxford: Clarendon Press.

Jeffery L.H., 1961, The Local Scripts of Archaic Greece. – Oxford: Clarendon Press.

Psychoyos D.K., 2005, The forgotten art of isopsephy and magic number KZ. // Semiotica, vol. 154, april 2005, p.  157–224

Schärlig, Alain, 2001, Compter avec des cailloux. Lausanne: Presses Polytechniques et Universitaires Romandes.

Tannery P., 1886,  Notices sur les Deux Lettres Arithmétiques de Nicolas Rhabdas. Notices et Extraits de Manuscrits de la Bibliothéque Nationale (Paris, 1886), vol.XXXII, pp. 121-252.

Von Vacano O.-W., 1960, The Etruscans in the Ancient World. – London: Edward Arnold.

Последнее обновление ( 04.09.2009 г. )   © 2010 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"