Числонавтика — Об отображающих свойствах бегущих волн

Об отображающих свойствах бегущих волн Автор Юрий Н.Денисюк    18.01.2009 г.

Ю.Н.Денисюк

http://numbernautics.ru

ОБ ОТОБРАЖАЮЩИХ СВОЙСТВАХ БЕГУЩИХ

 ВОЛН ИНТЕНСИВНОСТИ ПРИ ЗАПИСИ

 ДИНАМИЧЕСКИХ  ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММ

Фундаментальная по своему значению лекция, прочитанная на V Всесоюзной школе по голографии, в 1973 году.

                                                    (примечание редакции сайта Числонавтики)

Доказано, что объемная материальная модель картины бегущих волн интенсивности, возникающих в том случае, когда референтная волна и волна излучения, рассеянного объектом, имеют различные частоты, обладает свойствами голограммы.

Отличие от объемной голограммы с записью стоячей волны заключается в том, что модель бегущей волны интенсивности воспроизводит также и сдвиг частоты объектной волны по отношений к референтной.

Приведена теория явления, основанная на решении волнового уравнения в первом приближении, а также детально рассмотрен частный случай эффекта, когда волны интенсивности образуются в результате интерференции двух плоских волн.

Отмечено, что данное явление может быть использовано при создании трансформаторов излучения, а также в устройствах обработки данных в реальном масштабе времени.

Рассмотрены свойства бегущих волн интенсивности, возникающих при интерференции излучения с различными частотами.

Показано, что объемная материальная модель бегущей волны, образованной в результате сложения излучения объекта с референтной волной, аналогично голограмме обладает свойством преобразовывать референтную волну в волну излучения, рассеянного объектом.

Отличие заключается только в том, что динамическая модель бегущей волны, кроме амплитуды, фазы и спектрального состава, воспроизводит также и сдвиг частоты объектной волны по отношению к референтной.

Кроме того, в этом случае спектральный состав излучения, соответствующего псевдоскопическому изображению, искажается вследствие эффекта Доплера.

Приведена теория явления, основанная на решении волнового уравнения в первом приближении теории возмущений, а также в предположении, что считывающее излучение не влияет на структуру голограммы.

Кроме того, приведено детальное рассмотрение механизма эффекта на частотном примере интерференции двух плоских волн с различными частотами.

Данное явление может быть использовано при создании разнообразных трансформаторов излучения, а также в устройствах обработки данных в реальном масштабе времени.

----ХХХ----

В работах /1-3/ было показано, что объемная материальная модель стоячей волны, возникающей в пространстве вокруг объекта при сложении падающего и рассеянного излучения, является своеобразным оптическим эквивалентом этого объекта, т.е. такая модель обладает свойством воздействовать на излучение так же, как и объект.

Ниже доказывается, что данное явление не ограничивается частным случаем регистрации картины стоячих волн и что отображающие свойства присущи любым волнам интенсивности, в том числе и бегущим, например таким, которые возникают при регистрации движущегося объекта, когда длина волны рассеянного излучения смещена относительно длины волны падающего излучения в результате эффекта Доплера.

Рассмотрим сначала на частном примере особенности интерференции двух волн с различными частотами.

Предположим, что в пространстве пересекаются две плоские волны, характеризующиеся различными значениями волнового вектора и частоты w .

Волновые функции таких волн можно описать следующими выражениями:

(1)

(2)

Суммарное поле интенсивности этих волн найдем, складывая y1 и y2 и умножая результат на сопряженную величину, в конечном итоге получим

(1)

где

(4)

W = w1 - w2 (5)

Выражение (3) аналогично по форме выражениям (1) и (2) и также описывает плоскую бегущую волну, однако в данном случае эта волна - волна интенсивности.

Скорость бега такой волны определим, приравнивая аргумент косинуса к постоянной величине и беря затем производную от проекции радиуса вектора на волновой вектор волны интенсивности :

(6)

Пространственный период волны интенсивности L найдем с помощью выражения, аналогичного тому, которое связывает длину волны l и волновое число К:

(7)

В частном случае, когда интерферирующие волны распространяются приблизительно навстречу друг другу и их длины волн мало отличаются, (6) и (7) описывают структуру, весьма похожую на обычную стоячую волну. На самом деле, в этом случае

Поскольку и W <<w , то u<<c.

Таким образом, пространственный период рассматриваемой волны интенсивности, как и у обычной стоячей воды, приблизительно равен половине длины волны падающего излучения.

Отличие заключается только в том, что эта структура перемещается в пространстве со скоростью, пропорциональной разности частот интерферирующих волн.

Предположим, что бегущая волна интенсивности регистрируется в светочувствительной среде, постоянная времени которой t удовлетворяет следующим условиям: она больше периода световой волны и поэтому материальная среда не воспроизводит колебаний интенсивности, происходящих с частотой света:

(8)

Вместе с тем предположим, что постоянная времени t значительно меньше периода колебаний волны интенсивности, обусловленного движением волны как целого:

(9)

Подставив в (9) значения L и u из (6) и (7), последнее условие можно записать в следующем виде :

(10)

Нетрудно понять, что при выполнении условий (8) и (10) в светочувствительной среде возникнет бегущая материальная гармоника, моделирующая распределение интенсивности, описываемое формулой (3).

На самом дела, в соответствии с условием (8) среда не воспроизведет высокочастотные колебания интенсивности и, следовательно, при расчете действующей интенсивности можно пользоваться операцией умножения волновой функции на сопряженную величину.

Вместе с тем изменения интенсивности, соответствующие бегу волны, будут воспроизведены в силу условия (10).

Рассмотрим процесс взаимодействия излучения с такой гармоникой в первом приближении теории возмущений, пренебрегая эффектами вторичного рассеяния и ослаблением падающей волны при ее распространении сквозь объем голограммы.

При этом примем для простоты, что свет окружают только поверхности пучностей, т.е. представим гармонику в виде системы параллельных зеркал, расположенных на расстоянии L и движущихся со скоростью u (см.6,7). Схема расположения таких зеркал (в дальнейшем будем называть их "изофазными") приведена на рис.

Здесь и  волновые векторы интерферирующих плоских волн v1 и v2. w1 - поверхность волны интенсивности, которая после записи превращается в одно из изофазных зеркал.

Эта поверхность перпендикулярна к своему "волновому

Рис. К рассмотрению взаимодействия излучения с материальной моделью бегущей плоской волны интенсивности:

v1, v2 - интерферирующие плоские волны; , - волновые векторы волн v1 и v2; w1, w2 - поверхности фронтов бегущей плоской волны интенсивности;  - волновой вектор волны w; L - пространственный период волны w.

вектору". Как видно из рисунка, в отличие от случая обычной стоячей волны поверхность не совпадает с биссектрисой Оb угла, составленного векторами и  .

Направление движения волны w1 определяет вектор ; волна движется либо в направлении вектора , либо в противоположном направлении.

Знак перемещения можно найти, исходя из следующего.

Если  , то значение W =w 1-w 2 положительно, и тогда в соответствии с (3) волна w1будет двигаться в направлении, указываемом стрелкой вектора .

Если  , то знак W изменится и волна будет двигаться в противоположном направлении.

Как видно из рисунка, данное правило фактически сводится к тому, что волна интенсивности движется в общем направлении движения волны напряженности, характеризующейся большим абсолютным значением волнового вектора  .

На первый взгляд может показаться, что рассмотренная система изофазных зеркал не обладает свойствами голограммы, т.е. не может трансформировать одну из образовавших ее волн в другую.

Действительно, поскольку поверхность зеркала w1 не является биссектрисой угла, образованного векторами и  волна, идущая по направлению вектора     в соответствии с обычными законами зеркального отражения, не может быть преобразована в волну, идущую по направлению вектора .

Далее нетрудно заметить, что расстояние между плоскостями смежных зеркал L (7) не удовлетворяет условию Брэгга и это как будто также подтверждает невозможность трансформации волны v2 в v1 и наоборот.

Более подробный анализ, однако, показывает, что все эти эффекты только кажущиеся.

При отражении излучения от движущегося зеркала закон Снеллиуса нарушается: угол падения перестает быть равным углу отражения.

При этом оказывается, что изменение угла отражения в, данном случае именно таково, что обеспечивает возможность трансформации волн v2 в v1 и наоборот. Рассмотрим этот эффект подробнее.

Предположим, что на движущееся изофазное зеркало w1 падает одна из образовавших его волн, например, v2. Покажем, что в результате движения зеркала волна v2 встречается с поверхностью зеркала по линии биссектрисы ob угла, образованного векторами

  и  .

Для этого необходимо доказать, что волновой фронт, который в начальный момент времени t=0 пересекает зеркало в точке 0, пересечет произвольную точку m биссектрисы Оb именно в тот момент времени t1=t2, когда через нее проходит движущееся изофазное зеркало w1.

Формально последнее условие сводится к требованию равенства времен распространения волновых фронтов w1 и v2 до точки m. Обозначая Оm=ℓ, а соответствующие времена t1 и t2, это условие можно записать в следующем виде (см.рис.1):

  (11)

Найдем угол a , определяющий величину отклонения от закона зеркального отражения. Из треугольника КРО найдем

  (12)

Тогда с учетом (12) для sina можно записать следующее выражение:

  (13)

С помощью треугольника 0tР определим значение  .

  (14)

Подставляя (14) в (13), получим

  (15)

Можно показать, что подкоренное выражение (15) приводится к следующему виду:

(k1+k2-2k2cos2)2

Учитывая это, получим

  (16)

Подставляя в (11) значение sina из (16), а также значение u с учетом (14), нетрудно убедиться, что t1=t2 и, следовательно, волновые фронты w1 и v2 прибывают в точку m одновременно.

Так как точка m была выбрана на биссектрисе ob совершенно произвольно, то очевидно, что все остальные точки биссектрисы также являются точками встречи фронтов v2 и w1. В этих условиях волну, отраженную изофазным зеркалом w1, можно весьма просто определить с помощью построения Гюйгенса (см. рис.).

В начальный момент времени t=0 волна v2 касается зеркала w1 в точке 0. В этот момент из точки 0 испускается сферическая волна. За время, в течение которого волна v2 доходит до точки зеркала m, сферическая волна, испущенная из точки 0, проходит путь 0¦ =um.

Проведя из точки m касательную к поверхности сферической волны, найдем отраженную волну v'2. Рассмотрим треугольники 0¦ m и 0um. Так как их катеты 0¦ и um равны, а гипотенуза общая, то они равны.

Отсюда следует, что угол ¦ am равен u и что отраженная волна v2 движется в направлении вектора  , т.е. трансформируется во вторую волну, участвовавшую в образовании системы движущихся изофазных зеркал.

Используя аналогичные построения, можно показать также, что поскольку зеркало w1 движется навстречу волне с меньшим значением волнового вектора, то последняя приобретает при отражении такой частотный сдвиг, что отраженная волна воспроизводит не только направление, но и частоту второй интерферирующей компоненты.

Кроме того, чтобы закончить доказательство, необходимо показать также, что в данном случае выполняется также и условие Брэгга.

Однако мы не будем приводить эти весьма громоздкие построения, а сразу перейдем к более формальному рассмотрению общего случая, когда бегущая волна интенсивности образуется в результате интерференции референтной волны со сложной, в общем произвольной волной излучения, рассеянного объектом.

Пусть волновые функции падающего излучения и излучения рассеянного объектом, определяются следующими выражениями:

yr(r,t) = yr(r)exp[iw rt] (17)

yo(r,t) = yo(r)exp[iw ot] (18)

Функцию распределения интенсивности поля, окружающего объект найдем, складывая (16) и (18) и умножая результат на сопряженную величину.

Предположим далее, что под действием поля диэлектрическая постоянная среды e получает приращение d e , пропорциональное воздействовавшей интенсивности:

e = eо+de (19)

где

d e = yry r*+yoy о*+yоy r*+yry о* (20)

Введем следующие обозначения для третьего и четвертого членов (20):

yоy r* = g (21)

yry o* = g*(22)

Умножая (21) на yr, нетрудно убедиться, что третий член опадает с поточечным оператором умножения, преобразующим референтную волну в волну излучения, рассеянного объектом.

Рассмотрим процесс взаимодействия излучения с материальной моделью бегущих волн интенсивности, описываемой выражением (20).

При этом, поскольку нас интересуют, собственно, не свойства самой голограммы и свойства создающего ее оптического поля, мы пренебрежем воздействием считывающей волны на структуру голограммы и будем считать, что процессы записи и реконструкции протекают независимо.

Учитывая все это, предположим, что на объемную среду, распределение диэлектрической постоянной которой описывается (20), падает излучение референтной волны yr (см.17). В соответствии с принятыми

нами предположениями волновая функция yr должна подчиняться следующему волновому уравнению:

  (23)

где e о - функция распределения диэлектрической постоянной до записи волн интенсивности.

Под действием волны интенсивности диэлектрическая постоянная получит приращение de (см.20). Очевидно, что соответственно изменится и волновая функция.

Представим результирующую волновую функции в виде волновой функции невозмущенной задачи y r и некоторой малой добавки, обусловленной наличием de :

y = yr+y ¦ (24)

Возмущенная часть волновой функции является искомой волновой функцией излучения, восстановленного голограммой.

Подставив в волновое уравнение значение e из (20) и значение y из (24), пренебрегая членами второго порядка малости, учитывая (23) и дважды дифференцируя yr по времени, получим

  (25)

Решение неоднородного уравнения (25) имеет, как известно, следующий вид:

  (26)

Здесь индекс  у интеграла означает, что интегрирование ведется по объему голограммы v и при этом значения подынтегральной функции берутся с запаздыванием, так, чтобы учесть время, затраченное светом на распространение до точки наблюдения.

Так же, как и в случае записи стоячей волны, за образование изображения в данном случае ответствен третий член (20). Подставляя, соответственно, в (26) вместо d e значение g из

 (21), получим

  (27)

где аr - амплитуда референтной волны.

Подставляя в (27) значение yо с выделенной временной частью из (18), перепишем это выражение в следующем виде:

  (28)

В работах /1-3/ выражения с подобными интегралами интерпретировались как волновые функции, родственные волновой функции, стоящей под знаком интеграла.

Используя такую интерпретацию, так же и в данном случае приходим к заключению, что волновая функция излучения, восстановленного моделью бегущих волн интенсивности с точностью до эффектов, упомянутых в /1-3/, совпадает с волновой функцией излучения, рассеянного объектом.

Интересно отметить, что в рассматриваемом случае поведение псевдоскопического изображения существенно отличается от того, что имеет место при регистрации стоячих волн.

На самом деле предположим, что на модель бегущих волн интенсивности падает волна y'r встречная по отношению к референтной волне yr, участвовавшей в образовании голограммы. Модифицируя выражение (17), волновую функцию такой встречной волны можно записать следующий образом:

y 'r = y *о(r)exp[iw t] (29)

Подставляя в (26) вместо yr значение y'r из (29) и вместо de значение g* из (22) (псевдоскопическому изображению соответствует четвертый член (20)), найдем волновую функцию излучения, отраженного моделью в этом случае:

  (28)

Из (30) следует, что в данном случае псевдоскопическое изображение смещено по частоте вследствие эффекта Доплера и, по-видимому как-то искажено, поскольку подынтегральное выражение (30) имеет вид, отличный от соответствующей формулы Кирхгофа.

Таким образом, мы показали, что объемная картина бегущих волн интенсивности также обладает потенциальной способностью воспроизводить волновое поле объекта.

Более того, в дополнение к остальным параметрам волнового поля в данном случае воспроизводится также и частотный сдвиг объемной волны по отношению к референтной, что свидетельствует о том. что отображающие свойства объемной картины бегущих волн интенсивности носят еще более общий характер, чем соответствующе свойства картины стоячих волн.

С этой точки зрения характерно также и то, что в случае бегущих волн псевдоскопическое изображение стремится разрушиться при одновременном сохранении истинного изображения, т.е. оптические свойства модели бегущих волн стремятся еще более приблизиться к оптическим свойствам объекта, который никаких псевдоскопических изображений, как известно, не образует.

Разумеется. рассмотренное свойство света в большинстве случаев не может проявиться непосредственно в том виде, в котором оно было здесь представлено: когда среда реагирует на свет в момент его действия, считывающая волна сама будет влиять на структуру модели бегущих волн. что не было учтено в данном рассмотрении.

Однако можно ожидать, что этот и другие возможные эффекты такого рода повлияют только на детали процесса, не изменяя его существа.

Явление отображения свойств объекта картиной бегущих волн интенсивности может быть использовано при создании разнообразных трансформаторов излучения, в том числе в тех случаях, когда необходимо изменять длину волны.

Оно может найти применение также и в устройствах обработки данных в реальном масштабе времени, в частности, для получения оптических изображений при регистрации объектов о помощью акустических волн и волн радиодиапазона.

Литература

1. Ю.Н.Денисюк. ДАН СССР, 144, 1275 (1962).

2. Ю.Н.Денисюк. Оптика в спектр. 15, 522 (1963).

3. Ю.Н.Денисюк. Оптика в спектр. 18, 276 (1965).

Скачать PDF версию данной статьи 

 

Источник:

«БАЙКАЛЬСКАЯ МОЛОДЕЖНАЯ НАУЧНАЯ ШКОЛА»;  весьма обширные сборники материалов «Школы по когерентной оптике и голографии»)

Последнее обновление ( 19.01.2009 г. )   © 2010 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"