О постоянной Капрекара информации в Интернете очень мало. Практически это всё пересказы 1-3-х источников, достаточно старых и написанных более 20 - 50 лет назад.
Единственно, что порадовало, так это небольшая свежая заметка о том, что этим заинтересовались школьники…
Вот сокращённое сообщение с сайта http://very.ucoz.ru/
"Дарын"
… Четверо победителей казахстанских республиканских научных соревнований "Дарын" - одного из региональных отборочных конкурсов Всемирного смотра научно-технического творчества школьников (International Science and Engineering Fair, сокращенно - ISEF) - в мае нынешнего года отправятся в г. Портленд (штат Орегон, США), чтобы представить свои проекты мировому научному сообществу. Официальным спонсором конкурса выступила компания Intel.
Финалистки конкурса "Дарын" - казахстанские школьницы Жанна Бекжанкызы и Елена Пак - учатся в 11-м классе Технического лицея № 20 города Талдыкорган.
Не менее интересной оказалась работа еще одного победителя конкурса - Нуржаса Макишева, учащегося выпускного класса Республиканской физико-математической школы (РСФМШИ).
Идею своего научного исследования Нуржас почерпнул в книге американского популяризатора математики Мартина Гарднера "Путешествие во времени".
Работа казахстанского школьника называется "Самопорожденные числа", и в ней представлены оригинальные результаты, полученные по актуальным проблемам современной математики, а также обобщены понятия самопорожденных чисел, открытых индийским математиком Капрекаром при произвольном основании системы счисления.
Участие Intel в качестве спонсора Всемирных смотров научно-инженерного творчества школьников осуществляется в рамках корпоративной программы Innovation in Education ("Новаторство в образовании"), призванной обеспечить подготовку учителей и учеников к требованиям завтрашнего дня.
Жаль, что мало подобных работ у русских школьников. Равно как жаль, что спонсирует такие талантливые работы американская, а не русская фирма.
В этой статье я хочу восполнить некий информационный вакуум в отношении открытия Д. Капрекара. Результаты моей работы не слишком впечатляющи.
Они носят скорее просветительский характер и содержат некоторые дополнительные размышления на заданную тему, а также некие наброски относительно возможных направлений дальнейших исследований.
Конечно же, в русле задач и проблем числонавтики.
Самое главное в проблеме констант Капрекара и его самопорождённых чисел, так это то, что исследования других числовых структур с использованием особых чисел, в том числе и «самопорождённых» чисел Д. Капрекара, являются, на мой взгляд, весьма перспективными.
Почему я так думаю? А потому, что константа Капрекара (число 6174) – это не есть простое число, не есть нечётное число, не есть Первоцифра! Это уникальная и самостоятельная числовая сущность, которая каким-то образом неразрывно связана с подмножеством четырёхзначных чисел. И при этом она проявляется только в результате совершенно невероятной числовой манипуляции с обычными числами и цифрами.
Если взглянуть на это чуть пошире, то в феномене "Константы Капрекара" мы наблюдаем некий однозначный «отклик» определённого подмножества числового континуума на совершенно конкретную манипуляцию.
И поэтому вопрос даже не в том, почему отклик (реакция) числового континуума именно такова (явление числа 6174!), а в том, что Капрекар, на мой взгляд, фактически доказал гораздо более важную мысль:
«Локальные (специфические) манипуляции с элементами любой цифровой структуры способны проявлять закономерности их естественного существования в числовом континууме»
Однако, для «разогрева» воображения читателя и для иллюстрации важности указанного выше вида исследований, я хочу поговорить о постоянной (константе) Д. Капрекара с необычной позиции. Чтобы представить себе этот феномен более наглядно и более выпукло.
И потому я воспользуюсь определённой физической аналогией.
Возьму, к примеру, волновую, электромагнитную аналогию.
Итак, пусть у нас будет в наличии некий исходный анализируемый сигнал (А), обладающий своим естественным и уникальным спектром электромагнитных частот.
Пример. Сигнал с амплитудно-частотной модуляцией (Рис.1).
Рис.1
Как известно, существуют специальные приборы, называемые спектроанализаторами, которые позволяют точно определять параметры спектров таких АЧМ сигналов (Рис.2).
Рис.2
Это означает, что для анализируемого частотно модулированного сигнала (Рис.1) мы получаем, прежде всего, разнообразные сведения о том, каков его частотный состав и как он меняется во времени, а также по частоте (см. Рис.3).
Рис.3
На Рис.1, 3 и 4 показаны соответствующие спектры, где видно, что в разные периоды времени некоторые частоты в этом АЧМ-сигнале присутствуют, а некоторые – нет.
Рис.4
Более того, спектры АЧМ-сигналов дают нам информацию о том, какие из имеющихся спектральных компонент имеют большую мощность (амплитуду), а какие – меньшую.
Далее нам придётся немного усложнить наш пример тем, что в дальнейшее рассмотрение мы введём понятие о порядке следования спектральных компонент, т.е., фактически, понятие об информационной структуре нашего многочастотного сигнала.
Прямым аналогом такого сложного сигнала будет, как это было сказано выше, сигнал с амплитудно-частотной модуляцией (АЧМ).
В таком АЧМ-сигнале важными параметрами, в которых «спрятана» полезная (модулирующая) информация являются и отдельные частоты, и их мощность (амплитуда), и порядок следования частотных компонент.
А теперь начнём наш мысленный эксперимент.
Первый шаг.
Во-первых, займёмся вначале преобразованием исходного анализируемого сигнала «А». Выделим и разделим все его спектральные компоненты, а затем рассортируем их по ранжиру, конкретно - по параметру мощности (амплитуды) компонент и по порядку следования этих компонент.
Во-вторых, расположим эти частотные компоненты в порядке убывания названного выше параметра (см. Рис.5). Эту операцию логично назвать "спуском" (понижением) сигнала
Рис.5
Само собою, очевидно, что этой манипуляцией мы кардинально нарушаем информационную структуру исходного сигнала, ибо мы насильно (по своему произволу) трансформировали изначальный порядок следования частотных компонент.
То же самое, впрочем, случилось бы и в том случае, если бы в качестве «сортирующего» признака мы выбрали бы не частоты, а, скажем, амплитуды компонент исходного сигнала. Информационная исходная структура сигнала всё равно была бы разрушена.
На принимающей стороне такой сигнал (В) (без специальных и адекватных мер декодирования) не будет распознан адекватно и правильно. К слову сказать, именно такой способ преобразования сигналов применяется для шифрования ценной информации и для организации «закрытых» каналов связи.
Второй наш шаг – это инвертирование сигнала. Но, не исходного, а первого трансформированного сигнала (В).
Теперь мы предпримем меры по получению сигнала, у которого все спектральные компоненты будут расположены (рассортированы) по степени возрастания мощности (амплитуды) частотных компонент (Рис.6), т.е ровно наоборот по сравнению с первой трансформацией.
Рис.6
И этот сигнал назовём «вторым» (трансформированным) сигналом (С). А саму операцию назовём "подъёмом" (возвышением) сигнала.
Разумеется, и в этом случае информационное содержание сигнала также будет искажено.
Третий шаг нашего мысленного эксперимента будет состоять в том, что мы приведём оба новых сигнала во взаимодействие. И пусть это будет вычитание второго (трансформированного) сигнала из первого сигнала (В – С) = D.
На языке радиоэлектроники это означает операцию сложения двух сигналов в противофазе (см. Рис.7).
Рис.7
На Рис.7 показана наглядная схема операции вычитания сигналов.
Результатом «вычитания» будет чрезвычайно сложный сигнал (D), у которого буквально всё (в частотно-амплитудном и временном спектре) будет перемешано и перепутано. Последние по порядку следования компоненты будут вычтены из первых, одни частоты – из других и, к тому же, разрушены все мыслимые порядки следования частот.
В итоге назовём эту, буквально говоря, информационную «кашу» первым результатом (шагом) нашей особой процедуры преобразования (D1).
И… не остановимся на этом шаге!
А проведём точно такие же жуткие манипуляции с этим самым «первым» результатом (D1) ещё несколько раз: с получением аналогичного «второго» (D2), «третьего» (D3) и последующих…(Dx) «сигналов-результатов».
То есть (см. Рис.8) «зашифровались» мы буквально … насмерть!
Рис.8
Вопрос (риторический):
1. Может ли такая дикая радиоэлектронная «кухня» (в любом смысле слова) закончиться каким-нибудь естественным результатом? Или же такие «циклы шифрования» могут продолжаться до бесконечности?
2. Могут ли такие наши «эксперименты», если они вообще могут закончиться, принести нам хоть чем-либо полезный и определённый результат?
Даже не дожидаясь ответа, я могу смело утверждать, что любой связист и радиоэлектронщик поднимут меня на смех. Ни единого грамма здравого смысла в этих идиотских экспериментах они не увидят. И уж тем более – реальной пользы!
А между тем….
А между тем, всё описанное выше – вполне корректная физическая аналогия математической процедуры, придуманной Д. Капрекаром в 1949 году.
Элементами этой аналогии являются установленные уже многими исследованиями волновых свойства Первоцифр и чисел, наличие у них своих амплитуд, частот и начальных фаз, наличие у чисел (и цифровых структур) индивидуальных числовых спектров и прочих параметров волновых явлений.
Я уже не говорю о природной возможности разнообразного манипулирования цифрами, входящими в состав любого числа, а также выполнения (с ними, цифрами) всех известных арифметических и алгебраических операций.
Основой предложенной здесь аналогии является уподобление любого числа – индивидуальному волновому сигналу с соответствующими амплитудами, фазами, частотами и спектрами (разными).
При этом уже не столь важно, какой именно сигнал мы будем подразумевать в качестве исходного и какой вид модуляции к нему применять: АЧМ, ФЧМ, АМ, ЧМ или иную.
Всё равно! Получение осмысленного результата в радиотехническом аналоге процедур Капрекара представляется
чистой воды артефактом.
Теперь вы, уважаемые читатели, сможете наглядно понять то негодование и изумление (весьма, кстати, искушённых в своих фантазиях!) классических математиков, с которым они встретили открытие индийского математика-самоучки - Д. Капрекара.
Совершенно не легитимные и лишённые всякого смысла операции с исходным (и всеми промежуточными) числами вдруг привели к … константе = 6174. Абсурд и ...чудо!
Заметьте, для всех четырёхзначных чисел! Для всех!
А чуть позже, наличие аналогичной константы было открыто и для трёхзначных чисел. Её значение равно 495. И чудо повторилось!
Но, давайте задумаемся над итогами этих "чудес".
В радиотехническом смысле получение такой константы – есть … некий СИГНАЛ. Причём, с однозначной структурой, частотами, фазами, амплитудами и всеми прочими атрибутами, которые были получены в результате, мягко говоря, «невменяемых» и повторяющихся трансформаций элементов исходного сигнала.
Буквально же, у нас получилось, что … ХАОС не выдержал и... откликнулся на наши дикие «манипуляции» с числами одним ясным и недвусмысленным … СЛОВОМ – 6174.
Вы спросите, почему ХАОС? Ну, хорошо, пусть не хаос, а некий слой (подмножество) чисел числового континуума, объединяющий все четырёхзначные числа, сколько бы их ни было. Разве от этого чудо Капрекара стало понятнее?
Почему континуум вообще… «откликнулся» на эту числовую манипуляцию?
Почему «откликнулся» именно одним числом?
Почему числом 6174?
Почему в пределах 7 шагов трансформаций?
Почему имеет значение сохранение нулей при всех трансформациях?
И, главный вопрос: А какой ВООБЩЕ смысл имеет наличие (и проявление) эдакого уникального «числа-острова» в безбрежном Океане числового континуума? Такого одинокого и единственного в своём роде…
Получается, что для всего подмножества 4-значных чисел, в итоге, константу Капрекара (6174) можно уподобить некоему «порту приписки»… или же … «строительной верфи».А кто строители? И что там ещё строят?
Почему это так и почему это вообще возможно?
Почему это не одна из Первоцифр?
Почему не простое, наконец, число?
Почему это … чётное, очень спорное(!) число (6174:2=3087)?
Почему это не столь уважаемое (математиками и эзотериками) нечётное число?
И как же это ОДНО число вдруг оказалось связанным со всеми остальными числами совершенно конкретного подмножества?
Море вопросов, ответы на которые, к сожалению, традиционная математика не слишком торопится давать, ибо занята, видимо, более "серьёзными" делами.
А между тем, найти нерекуррентную формулу для частичной суммы членов этой последовательности (Д. Капрекара), которая задавала бы частичную сумму в зависимости от ее первого и последнего члена, до сих пор не удалось найти никому из современных математиков…
Какой же можно сделать вывод?
Я бы сделал, вернее, повторил бы, древнее изречение, сказанное царю Соломону в ответ на требование поскорее объяснить ему математику: «В арифметику царских путей нет, государь»!
Никакого иного способа узнать тайну константы Капрекара, кроме практического и настойчивого труда по её постижению через опыт- не существует.
И одним из наиболее перспективных путей познания я считаю, как раз-таки, аналогии подобных нетрадиционных математических процедур с физическими волновыми явлениями, что в максимальной степени может помочь раскрытию как тайн константы Капрекара,
так и делу развития самой числонавтики.
Ну, а теперь рассмотрим несколько результатов моих изысканий.
Дерево узлов трансформации процедуры Капрекара
Практические расчёты (проверки) различных чисел на «скорость» их схождения к константе Капрекара, позволили мне заметить одну интересную закономерность. Эксперимент проводился (для простоты) на примере постоянной Капрекара для трёхзначных чисел (485).
Самые первые этапы счёта могут быть весьма разными, но, далее процесс вычислений всегда выходит на группу взаимосвязанных и постоянно повторяющихся промежуточных чисел: 891, 792, 693, 594, 396, 297, 198 и 495.
После этого расчёт, более или менее быстро, приводит к константе 495.
Я занялся этим более детально и, в результате, родилось …
«Дерево узловых элементов процедуры Капрекара».
Узлами этого Дерева я назвал те самые (упомянутые выше) постоянно повторяющиеся элементы расчёта (см. выше).
Связи между «узлами» - это "ветки" Дерева, которые показаны на Рис.8 (ниже).
Сами "узлы" нарисованы в виде «листьев», которые как бы собирают свет – и контактируют со всеми подмножествами чисел, но особо реагирую только на подмножество чисел трёхзначного числового континуума.
Основанием всего дерева является число 495 (самопорождённое число), которое представлено самим собой и его изонумами (см. Рис.9).
Таким образом, общая аллегория процессов Капрекара состоит в том, что существует некое числовое Дерево, которое своими числами-«листьями» избирательно воспринимает спектры трёхзначных чисел и «направляет» их энергию» к корню, к изонумам числа 495. А корни-изонумы, в свою очередь (по нашей аллегории) когда-то вырастили ... наше Дерево, а ныне - питают свои специфические листья... Удивительная аллегория, не правда ли?
Второе, что было мной замечено в модели Дерева, так это то, что «числа листья» тоже являются по отношению друг к другу - числами-изонумами. Всего их 6 штук (3 пары зеркальных изонумов).
Рис.8
А на Рис.9 показан схема взаимодействия и переходов между узловыми точками процедуры Капрекара в символическом виде и в цифрах конкретных расчётов.
Рис.9
На следующем рисунке (Рис.10) даны две иллюстрации, демонстрирующие числа-изонумы.
Рис.10
Особый статус самопорождённых чисел логически подводит нас к необходимости исследовать их связь с Первоцифрами и т.н. монадными числами.
Цифровые (трёхэлементные) структуры, составленные из Первоцифр, называются Первочислами или Монадными числами.
Число Капрекара и Первоцифры
Относительно Первоцифр одним из важнейших результатов исследований было установление «Системы правильного расположения Первоцифр».
Первоцифры – это, разумеется цифры от 1 до 9. Но, нас интересуют не просто числа, взятые без разбора, но и числа, специфически организованные (благодаря открытию А.Киселя) в тройки: 147, 258, 369.
Система же Первоцифр вобрала в себя обе указанные идеи и связала воедино все изонумы монадных чисел (и разумеется, отдельных Первоцифр).
На Рис.11 (ниже) дана общий вид указанной Системы, где самым важным для нашего продвижения по теме статьи, оказались расчёты элементов геометрической схемы, в которую были вписаны изонумы Первочисел.
Эти расчёты показывают значения «разностей» и «сумм» между монадными числами-изонумами, а также некоторые другие суммы, использованные для отражения фигур треугольников, "описывающих" собой шестиугольные монадные (изонумные) комплексы (888, 2220, 1110, и т.д.).
Рис.11
В системе монадных троек Первочисел мною было обнаружена ещё одна интересная закономерность.
Она состоит в том, что «разницы» между изонумами монадных чисел в основном совпадают по своему виду и структуре с ранее найденными узловыми числами (процедуры Капрекара).
Проще говоря, получается, что узловые числа анализируемой нами «Капрекар-процедуры» ответственны за связи внутри Системы монадных Первочисел.
Таким образом появился повод для более детального анализа этой связи.
Число Капрекара и монадные числа
На данном этапе изучению было подвергнут изонумный набор чисел от монадного числа «147». Остальные наборы по своим свойствам аналогичны.
В Табл.1 (на Рис.12 ниже) представлены расчёты сумм и разностей этих чисел. Диагональ разделяет таблицу на две части (сумм – внизу и разностей – вверху).
Табл.1
Рис.12
Что же мы наблюдаем здесь? А наблюдаем мы расширенный набор чисел, являющихся связями между элементами (числами) в «Системе Первоцифр».
Кроме того, здесь подтверждается идея о числах-узлах (для Дерева элементов процедуры Капрекара /см. красные числа в таблице 1/).
Остальные комментарии смотрите непосредственно на рисунке.
На Рис.13 снова показана «Система монадных Первочисел» с дополнительными, обобщающими комментариями.
Рис.13
Самопорождённые числа Капрекара и натуральный ряд
Очередное исследование было посвящено уяснению места «самопорождённых» чисел, к которым относится и число 495, среди остальных чисел натурального ряда.
Общую картинку дала одна из специальных программ вычисления самопорождённых чисел, с помощью которой было получено графическое отображение этого вопроса.
На Рис.14 дано изображение поля распределения самопорождённых чисел для двух масштабов, различающихся в 3 раза.
Отчётливо виден регулярный (повторяющийся) характер проявления и действие двух форм-факторов – один из которых делает картину распределения чисел симметричной по отношению к двум ортогональным осям координат (Х и У), а другой – циклический.
Некая "квадратность" наблюдаемого нами общего поля чисел, а с другой стороны - "волнистость" общего узора картинки.
Волнистую структуру задаёт картине циклический форм-фактор (см. Рис.14 и 15).
Рис.14
Последний вопрос (о втором форм-факторе) меня заинтриговал и я предпринял расчёты по вычислению координат проявления главного самопорождённого числа (495) в системе чисел, кратных цифре 9 (всего было взято 1000 чисел).
Почему это было сделано? А потому, что все узловые числа «Дерева процедуры Капрекара» оказались кратны цифре «9», причём с интересными сомножителями: 11, 22, 33, 44, 55,… и т. д.
099 = 9 Х 11
198 = 9 Х 22
297 = 9 Х 33
396 = 9 Х 44
495 = 9 Х 55
594 = 9 Х 66
693 = 9 Х 77
792 = 9 Х 88
891 = 9 Х 99
Следовательно, для выявления общей закономерности достаточно только чисел, которые кратны «9».Эти числа были легко установлены и среди них далее вычислялись "узловые числа"
Этим самым я отфильтровал множество других чисел, тоже связанных с "узловыми числами", но не столь прямо, а опосредованно, что прояснит графический анализ.
Расчёт с графическим отображением (и с выделениями чисел 495) представлен таблицей №2 на Рис.15 (см. ниже).
Табл.2
Рис.15
Если сопоставить изображения на Рис.14 с чёрным абрисом чисел 495 на Рис.15, то можно убедиться в том, что мы «выловили» основную конфигурацию чисел, возникающих под действием второго, упомянутого ранее, «волнообразующего» форм-фактора.
Это – весьма примечательная геометрическая фигура «восьмёрки» (символа бесконечности). Фигура, которая, естественным образом, является тоже циклической и повторяющейся.
С учётом этого я исследовал ещё один аспект проявления самопорождённых чисел в натуральном ряду чисел.
Меня интересовал алгоритм воспроизведения указанной выше цикличности в более наглядном, числовом виде.
Для этого опыта я взял первую тысячу самопорождённых чисел и попытался разместить их систематизировано.
О кратности цифре «9» я уже упоминал неоднократно и это стало счётной основой вертикальной шкалы таблицы, показанной на Рис.16.
А основой шкалы счёта по другой оси стало обнаружение нумерологической периодичности в ряду самопорождённых чисел.
В скобках возле чисел указаны нумерологические суммы тех же чисел. Нетрудно заметить, что наблюдается период повторения через 9 чисел. А сами числа отличаются друг от друга на постоянную добавку = 11.
Однако, дело оказалось не столь простым.
После числа 108, казалось бы, должно было последовать число 119, а на самом деле следует число 110.
Значит, вычислительная добавка в 11 единиц действует только внутри естественных периодов самопорождённых чисел, начинающихся с нумерологических единиц (1, 10, 19, 28 и т.д.).
В таблице 4 на Рис.16 представлена окончательная систематизация, из которой видно, что числа конца одного периода от чисел начала следующего периода различаются всегда на одно и то же число = 2.
После этого совсем не трудно формализовать этот процесс и написать простой алгоритм (программу) для вычисления самопорождённых чисел. Собственно говоря, это, видимо, уже и было найдено, но никто про это не удосужился написать. Мелочь, как бы....
А также не представили никаких наглядных иллюстраций в интересах дальнейшего изучения самопорождённых чисел. Хотя бы для школьников.
В любом случае, я надеюсь, от моего изложения такого рода польза будет. Хотя бы детям…. Надеюсь, что - русским детям.
Количество узлов самопорождённых чисел
И, наконец, последнее моё исследование было нацелено на установление количества узловых чисел Дерева процедуры Капрекара (см. выше).
Табл. 4
Рис.16
Для этого был произведён прямой расчёт чисел (от 1 до 999) где определялось первое появление одного (из уже известных нам) чисел, соответствующих узловым числам «Дерева…».
Таким способом формировалась таблица соответствий чисел (см. Табл.3 на Рис.17).
Таблица №3 показана ниже.
Табл.3
Рис.17
ВЫВОДЫ
Была продемонстрирована уникальная сложность процедуры Капрекара с использованием радиотехнической аналогии, где числа были уподоблены волновым процессам.
Анализ течения числовых процедур и этапов расчётов привёл к рождению представления (понятию) о существовании «Дерева узловых элементов процедуры Капрекара», в корне которого находится знаменитая константа Д. Капрекара = 495 (см. Рис.8)
Идея дерева привела к общей «Схеме узловых точек (чисел), через которые проходят любые вычисления по алгоритму Д. Капрекара (Рис.9)..
Особый статус самопорождённых чисел логически привёл к необходимости исследования связи упомянутых выше узловыхточек с Первоцифрами, с т.н. «Монадными числами». (Рис.10 и работа «Числовая голография Монады» (ч.1-3) http://www.numbernautics.ru/content/view/357/28/
В системе монадных троек Первочисел была обнаружена (Рис.11) интересная закономерность. Она состояла в том, что «разницы» между изонумами монадных чисел в основном совпадают по своему виду и структуре с ранее найденными узловыми числами (процедуры Капрекара).
Был сделан вывод о том, что узловые числа «Капрекар-процедур» ответственны за связи внутри полной Системы монадных Первочисел
Основное монадное число «147» и все его изонумы в ходе перекрёстных сложений и вычитаний порождают (в числе остальных результатов) все узловые числа дерева процедуры Д. Капрекара. И набор этих элементов трансформации – конечен.
Анализ процедуры Капрекара с позиции системы Первоцифр доказал, что эта процедура является одной из фундаментальных компонент (составляющих) указанной системы.
Далее исследование расширилось до анализа места константы Д. Капрекара (495) в натуральном ряду чисел. И там впервые было выявлено, что все основные узловые числа «Дерева процедуры Капрекара» кратны цифре «9», причём с интересными сомножителями: 11, 22, 33, 44, 55,… и т. д.:
099 = 9 Х 11
198 = 9 Х 22
297 = 9 Х 33
396 = 9 Х 44
495 = 9 Х 55
594 = 9 Х 66
693 = 9 Х 77
792 = 9 Х 88
891 = 9 Х 99
Из п.9 был сделан вывод, что для изучения общей закономерности достаточно только чисел, которые кратны «9» и сделан расчёт (с графическим отображением – Рис.13, 14) по выделению главного самопорождённого числа (495) в системе чисел, кратных цифре 9 (всего 1000 чисел).
Был «выловлен» весьма примечательный образ (геометрическая фигура) «восьмёрки», символ бесконечности, лежащий в основе проявления самопорождённых чисел в натуральном ряду чисел (Рис.14).
Была обнаружена скрытая нумерологическая периодичность появления самопорождённых чисел в числовом ряду: 1, 3, 5, 7, 9, 20(2), 31(4), 42(6), 53(8_),64(1), 75(3), 86(5), 97(7), 108(9), … данная периодичность в числонавтике тождественна коду саморепликации Первоцифры «2». Период повторения здесь равен 9 числам, а различающая самопорождённые числа друг от друга вычислительная добавка оказалась равной числу «11»!
В итоге это привело к созданию «Обобщённой таблицы, алгоритма» размещения самопорождённых чисел в натуральном ряду, что оказалось довольно непростым делом (Рис.15). В частности, после числа 108 после добавки числа «11», казалось бы, должно было последовать число 119, а на самом деле мы имеем самопорождённое число 110. И, аналогично, в целом ряде других случаев. И, тем не менее общая закономерность была найдена.
Оказалось, что вычислительная добавка в 11 единиц действует только внутри дополнительных периодов самопорождённых чисел, начинающихся с нумерологических единиц (1, 10, 19, 28 и т.д.).
В «Обобщённой таблице» представлена окончательная систематизация, из которой видно, что числа конца одного дополнительного периода от чисел следующего периода отличаются всегда на одно и то же число = 2.
В итоге удалось формализовать процесс и написать простой алгоритм (программу) для точного вычисления самопорождённых чисел, что, собственно говоря, возможно, уже и было найдено, но другими методами, но никто про это отчётливо (ради дальнейших исследований) не написал.
Последнее исследование работы «Игры с числами Л. Капрекара» http://www.numbernautics.ru/content/view/514/27/ было направлено на установление частоты повторения (и количество) узловых чисел Дерева процедуры Капрекара.
