Для прямоугольного треугольника, стороны которого c-гипотенуза, a,b-катеты, теорема Пифагора: a2+b2=c2 отражает объективное свойство сторон.
В данной работе рассмотрена связь разработанной автором системы «m-n» параметров, но уже для косоугольного треугольника, которая позволяет получать возможность построения упорядоченных множеств по типу деревьев ПТ.
А это, в свою очередь, открывает новые перспективы в применении авторского метода для разнообразных исследований векторных полей.
Примечание.
В работах [1,2,3] рассматриваются базовые основы авторской Системы «m-n» параметров. Эта система имеет в качестве основных опорных утверждений теорему числовой цикличности сторон треугольника [1].
----------ХХХ----------
Теорема цикличности 1
“ Цикл последовательного взаимного вычитания сторон треугольника всегда ограничивается пятью шагами “.
→ AC2 = (b + c +d)2 → (b + c +d)2 = (b + c )2 + 2d (b + c ) + d2
→ AC2 = (b + c )2 +(d + c )2 + (2db – c2 ) (1)
Если треугольник прямоугольный, то имеем два уравнения
c2 = 2db (2)
→ AC2 = (b + c )2 +(d + c )2
→ AC2 = AB2 +BC2 (3)
Уравнение (3) – уравнение Пифагора, экстремальный случай циклического свойства сторон треугольника.
Для прямоугольного треугольника обозначим:
b = n2 (4)
d = 2m2 (5)
→ c2 = 2db = 4m2n2
→ c = ± 2mn (6)
На Рис. 1 имеем c = 2mn и тогда
АВ = n2 + 2mn (7)
BC = 2m2 +2mn (8)
AC = n2 + 2mn+ 2m2 (9)
Косоугольный треугольник
На Рис.2 представлен косоугольный треугольник.
Для использования всех формул системы mn параметров необходимо стороны косоугольного треугольника представить в виде функций AC = φ1 (m,n), AB = φ2 (m,n), BC = φ3 (m,n), где «m-n» – параметры прямоугольного треугольника, в который вписан исходный косоугольный треугольник.
Для решения этой задачи, произведем следующие дополнительные построения (см. Рис.2).
[1] Развернем исходный косоугольный треугольник таким образом, чтобы одна из меньших сторон заняла строго вертикальное положение.
[2] Проведем по этой стороне вертикальную линию.
[3] Проведем через точку А горизонтальную линию.
Точку пересечения горизонтальной и вертикальной линий обозначим как D.
В результате этих построений образовался прямоугольный треугольник внутри которого размещен исходный косоугольный треугольник.
При этом сторона BC косоугольного треугольника совмещена со стороной прямоугольного треугольника ADC( Рис. 3).
На этом рисунке имеют место три треугольника:
исходный ∆ АВС
большой прямоугольный ∆ ADC
малый прямоугольный ∆ АDВ.
ВНИМАНИЕ!
Точка В исходного треугольника находится на стороне DC прямоугольного треугольника.
Таким образом:
Задачу о косоугольном треугольнике
можно заменить задачей цикличности сторон прямоугольного треугольника с произвольной точкой В на одном из катетов.
При этом процедуру цикла следует начинать
с одного из отрезков DB или BC (Рис.3).
Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только треугольника ADC.
→ AD = [ AB2 – ( AC2 - AB2 - BC2 )2 / 4 BC2 ] ½ (11)
Таким образом, по формулам (10) и (11) можно определить стороны прямоугольного треугольника внутри которого размещен произвольный исходный косоугольный треугольник.
Теорема цикличности 2
“Цикл взаимного последовательного вычитания
сторон треугольника,
начинающийся с произвольной точки,
находящейся на любой его стороне,
ограничивается шестью шагами “.
Доказательство.
Пусть имеем произвольный ∆ АDС
где AC- большая сторона, AD, DC- меньшие стороны. На стороне DC выбрана произвольная точка В (Рис. 3).
Шаг 1. AD – DB = b1
Шаг 2. AC – b1 = AC – AD + DB = e
Шаг 3. CD – e = CD – AC + AD - DB = BC -AC + AD = d1
Шаг 4. AD – d1 = AD - BC + AC - AD = b1 + c1
Шаг 5. AC –(b1 + c1) = AC - AD + BC - AC + AD = BC
Шаг 6. AD – BC = DB .
Цикл завершен!
Результат:
AC = b1 + c1 + ВС
AD = b1 + c1 + d1
DC = d1 +c1+ BC
где
b1= AD – DB
c1= AC + BD – AD – BC
d1 = AD + BC - AC
Для прямоугольного треугольника ADC параметры mn можно представить в виде
AC = n2 + 2mn+ 2m2
AD = n2 + 2mn
DC = 2m2 +2mn
При этом значения « m » и « n » можно определить используя формулы (10) и (11).
Здесь эти формулы не приводим в связи с их громоздкостью.
Выводы:
Стороны косоугольного треугольника могут быть выражены в системе mn параметров.
Косоугольный треугольник внутри прямоугольного определен однозначно при задании местоположения точки В на стороне катета.
Связь параметров косоугольного треугольника с «m-n» параметрами дает возможность построить упорядоченное множество по типу дерева ПТ, что открывает новые перспективы в исследовании векторных полей.
Расчет дерева косоугольных треугольников выполнен “MathCat. Специальная программа для расчета дерева косоугольных треугольников здесь - fgg-fil1.narod.ru/fmatkst.mcd
Литература:
[1] Фильчев Э.Г.Что породило теорему Пифагора?
[2] Фильчев Э.Г.Безвестная тайна Пифагора
[3] Фильчев Э.Г.Система mn параметров и золотое сечение
[4] Фильчев Э.Г.Теорема цикличности в символах и орнаментах
