О периодичности натурального ряда Автор В. В. Мантуров 28.05.2008 г.
В.В. МАНТУРОВ
О ПЕРИОДИЧНОСТИ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА
С древних времён людей завораживает тайна простых чисел.Окончательного решения этой тайны не существует до сих пор и эти числа продолжают удивлять нас своей загадочной причастностью к самым великим тайнам Природы.
Когда-то, очень давно, греческий математик Эратосфен предложил находить простые числа, записывая числовой ряд на полоске пергамента и последовательно вырезая из него числа, делящиеся на 2, 3, 5 и т. д.
В итоге получалось… "решето", через отверстия которого "выпадали" все составные числа, а простые оставались. Безусловно, решение таких задач требовало собранности и … «чувства числа», ибо иных методов выявления таких чисел тогда ещё не было.
Однако, интересные решения одних проблем часто рождаются по ходу анализа других, прикладных исследований. И очень хорошо, что неожиданные смыслы и обобщения не проходят мимо внимания исследователя…
Такова, в частности, публикуемая на нашем сайте, работа Василия Васильевича Мантурова (г. Пушкино, Моск. обл.).
В этой работе он пришел к своему варианту "решета Эратосфена" И тем интереснее её результат.
В.В. Мантурову однажды пришлось решать задачу об определении кулоновской энергии кубической решетки кристалла типа NaCl.
Суть используемого при этом метода состояла в определении числа одинаковых (с учетом возникающих вариантов) сумм квадратов трех чисел.
И вот, при поиске таких сумм ему удалось обнаружить ряд
любопытных закономерностей.
Если члены натурального ряда последовательно представлять в виде суммы трех квадратов чисел (включая нули), обнаруживаются числа, которые в такой форме представить нельзя.
Автор назвал их «пустыми».
"Пустые" числа чередуются, повторяясь, начиная с группы 7, 15, 23, 28, 31, через каждые 32 члена ряда с той же периодичностью. Натуральный ряд, представленный в виде таблицы с периодом 32, будет содержать все "пустые" числа только в пяти столбцах, расположенных под указанными выше номерами.
Со столбцами "пустых" чисел соседствуют столбцы чисел, отличающиеся от них на единицу. Это наглядно подтверждает теорему Лагранжа, согласно которой любое число натурального ряда можно представить в виде суммы не более четырех квадратов чисел.
С открывшейся периодичностью оказалось связано и распределение простых чисел (это отмечено кружками). Столбцы, в которых они присутствуют, перемежаются столбцами, где простых чисел нет (исключение составляет третий столбец, куда затесалась 2).
Кроме того, в таблице простые числа образовали своеобразные "диагонали" - линии, идущие параллельно. Вне этих столбцов и линий их нет в принципе.
Более половины этих диагоналей составляют парные линии, часть простых чисел на которых оказывается практически рядом.
Они издавна называются "близнецами"; их разность во многих случаях равна 2 (например, 17 и 19, 71 и 73, 347 и 349 и т. д.).
Таблица с диагоналями представляет собой своеобразный вариант решета Эратосфена, хотя и не может конкурировать с ним по тщательности отсева простых чисел. Тем не менее, она обладает эмпирической наглядностью и несомненно может оказаться полезной для поиска новых закономерностей в теории чисел.
Нетрудно усмотреть и еще одну особенность таблицы: все числа, равные 2n, где n = 5, 6, 7 …, находятся в первом столбце, начиная со второй строки. Числа натурального ряда, представляющие собой квадрат одного числа (выделены квадратиками), располагаются в семи столбцах, в каждом из которых наблюдаются свои закономерности их построения, порой весьма экзотичные.
Для наглядности часть их вынесена в отдельную таблицу (Рис.2).
Рис.2
(При нажатии на Рис. 2 вы сможете посмотреть его увеличенный вариант)
Любители математики могут попытаться отыскать закономерности построения таблицы, не отмеченные автором, например, в распределении чисел - полных кубов (отмечены треугольниками). Интересно было бы также рассмотреть аналогичную задачу о сумме двух квадратов чисел, где тоже нашлось бы немало интересного.
