Числонавтика — О периодах радикалов, несводимых к целым числам

О периодах радикалов, несводимых к целым числам Автор Д. Клещёв    07.03.2008 г.

©  Д.Клещев

О периодах радикалов, несводимых к целым числам

Необходимо уяснить, что бесконечность лишена

наглядного смысла и без более подробного

исследования лишена всякого смысла вообще,

так как существует только то, что конечно.

Д.Гилберт

….. На первый взгляд все это покажется невероятной фантазией автора статьи.

Но, необходимость в серьезных изменениях в математике возникла давно, и связана не только с предлагаемой к рассмотрению гипотезой периодичности, но и со многими другими «неразрешимыми» проблемами.

Такие проблемы не принято открыто обсуждать в математическом сообществе.  Они не разглашаются «непосвященным»….

Кто например, знает про факт ошибочности теории бесконечных множеств Г. Кантора, доказанный А. Зенкиным?  Никто!

Кто знает про доказательство теоремы Цермело?.... Никто!

Автор статьи не стремится кому бы то ни было навязывать свою точку зрения, но избегать открытого обсуждения данной проблемы тоже … по меньшей мере, странно, тем более, что пока не было приведено ни одного достаточно вразумительного опровержения этой идеи….

 Эту статью можно рассматривать как дополнение к "Постижению иррационального".

Посидев пару вечеров с калькулятором, убедился, что используемый в статье " " подход годится для нахождения периода любого несводимого радикала.

В статье приводятся соответствующие примеры, необходимые для целостного понимания затронутой проблемы

Самая первая трудность, которая возникает при рассмотрении периодов десятичных дробей, заключается в том, что мы не имеем возможности для непосредственного оперирования бесконечным периодом.

Можно сказать, что наши вычислительные возможности напрямую зависят от разрядности используемого нами калькулятора. Например, возьмем число 1,22(2) и посмотрим, какие значения будут получаться, если оперировать различными конечными приближениями при возведении данного числа в квадрат:

1,22² = 1,4884

1,2222² =  1,4937784

1,222222² =  1,493826617284

Исходя из полученных таким образом результатов, не мудрено сделать ошибочное умозаключение и сказать, что возведение в квадрат периодической десятичной дроби 1,22(2) приводит к образованию некой непериодической десятичной дроби, то есть, его квадрат равен некоторому иррациональному числу.

Казалось бы, данное суждение основано на вполне эмпирических фактах: рассмотрено несколько приближений, возведенных в квадрат, но ни в одном из полученных значений мы не видим никакого периода. Следовательно, периода не существует…

Но стоит нам только применить приближение такой разрядности, которая позволяет «увидеть» достаточно большой период, образующийся в результате возведения в квадрат числа 1,22(2), как наше мнение сразу же кардинальным образом изменится, и мы признаем поспешность сделанного только что вывода о непериодичности:

1,222222222222222222222222222222² = 1,4938271604938271604938271604933…

В статье «Постижение иррационального» (см. ) было сделано весьма смелое, идущее вразрез со многими положениям современной математики утверждение, что

… в случае с √2 мы сталкиваемся с подобным случаем, что возведение (или извлечение) квадрата периодической десятичной дроби всегда приводит к образованию другой периодической десятичной дроби.

Разница лишь в том, что период десятичной дроби 1,414213562…, образующийся после извлечения квадрата из периодической десятичной дроби 2,00(0) = 1,99(9), много больше периода, обнаруженного нами выше.

Логические противоречия в аксиоматике теории иррациональных чисел, в соответствии с которой даже периодические десятичные дроби с периодом (9) не являются рациональными числами (!?), позволяют рассматривать метод нахождения периодов иррациональных чисел как неплохой альтернативный вариант разрешения геометрических и алгебраических проблем в основаниях математики.

Причем,  в отличие от альтернативной теории множеств, предложенной в 1973 году чешским математиком П.Вопенка, данный подход позволяет говорить о вполне детерминированной конечности рассматриваемых нами последовательностей.

Но тогда возникает естественный вопрос, можно ли с помощью обозначенного в статье «Постижение иррационального» метода находить периоды несводимых к целым числам радикалов других, более высоких, чем квадратный корень, степеней?

Например, кубический или биквадратный корень из произвольно взятого действительного числа?

Прежде, чем ответить на этот вопрос, вспомним, каким образом мы находили период для числа √2 в статье «Постижение иррационального» и проверим, будет ли данный подход оставаться в силе в применении к квадратным числам.

Действительно, если обнаруженная нами закономерность является случайным совпадением, то случайный результат должен получиться и в том случае, если применить логику наших рассуждений к квадратному числу. Например, к числу 4.

Формула (1)  (Sэ)АСЕF = 2(Sэ)АВСD - (2х – 1) для квадратного числа 4 будет выглядеть как А = 4 х² - (4х – 1) , где х – число элементов стороны десятичного квадрата.

Подставляя соответствующие значения и извлекая квадратный корень из полученных значений, будем получать следующее:

  4 · 100 - (4 · 10 – 1) = 400 – 39 = 361, 

√361 = 19

 4 · 10000 - (4 · 100 – 1) = 40000 – 399 = 39601,

√39601 = 199

4 · 1000000 - (4 · 1000 – 1) = 4000000 – 3999 = 3996001,

√3996001 = 1999

и так далее.

Как видно, на каждом конечном шаге приближений извлечение квадратного корня дает значения: 19, 199, 1999… Следовательно, и на бесконечно большом шаге приближения мы получим:

√399_∞600_∞1 = 1999_∞

То есть, экстраполяция для бесконечно большого значения, действительно, будет соответствовать известному значению, которое мы получаем при извлечении квадратного корня из числа 4: √4 = 2 = 1,999(9)…

Теперь, когда мы убедились в справедливости подхода для квадратных чисел (а значит, в его универсальности), перейдем к рассмотрению произвольного кубического корня. Например, 5 ^ (1/3). По формуле А = 5 х³ - (5х – 1):

5 · 1000 - (5 · 10 – 1) = 5000 – 49 = 4951, 

√4951 = 17,043716779071499319794520257296…

5 · 1000000 - (5 · 100 – 1) = 5000000 – 499 = 4999501, 

√4999501 = 170,99190595843849680244709982853…

5 · 1000000000 - (5 · 1000 – 1) = 5000000000 – 4999 = 4999995001, 

√4999995001 = 1709,9753767985232387909906145576…

Сравним полученные на каждом шаге приближения десятичные значения с оригинальным значением десятичной дроби 5 ^ (1/3) =  1,7099759466766969893531088725429…, домноженным на разрядность взятых нами приближений:

17,099759466766969893531088725429… - 17,043716779071499319794520257296… = 0,05604268769547057373656846813…

170,99759466766969893531088725429… - 170,99190595843849680244709982853… = 0,0056887092312021328637874257…

1709,9759466766969893531088725429… - 1709,9753767985232387909906145576… = 0,000569878173750562118257985…

С поправкой на соответствующую разрядность каждое из полученных таким образом значений приближается к значению (5 ^ (1/3)) / 3 = 0,56999198222556566311770295751431…, которое и будет являться периодом данной дроби.

Соединяя последовательности, образующиеся на каждом шаге рассмотренных приближений, так, как будто они образуют непрерывную десятичную дробь, и сравнивая их с оригинальным значением 5 ^ (1/3), мы можем убедиться в правомочности такого утверждения:

1,7099759466766969893531088725429… -  1,7043716_560426_ =

0,00560426…

1,7099759466766969893531088725429… -  1,709919059_56887092_ =

 0,000056887092

1,7099759466766969893531088725429… - 1,70997537679_5698781737_ =

0,0000005698781737

(Примечание:

…  для такой точности вычислений стандартного 32-разрядного инженерного калькулятора уже не хватает, но если взять калькулятор большей разрядности, то значения периодов будут полностью соответствовать записанным здесь значениям)

Как и в случае с √2, мы вынуждены признать, что данная закономерность может наблюдаться только тогда, когда вслед за первым периодом дроби идет второй, третий и т.д. - точно такие же периоды десятичной дроби.

Действительно, если бы приближение к периоду было бесконечным (а значит, бесконечными оказались бы и периоды), то данную закономерность мы, вообще говоря, наблюдать не смогли бы, так как для повторяемости периода необходимо, чтобы бесконечно большой шаг приближения выполнялся для некоторого конечного шага приближения (что следует из правил перевода обыкновенных дробей в десятичные).

В противном случае никакой повторяемости периода наблюдаться попросту не будет.

Более того, периодом в таком случае может оказаться в равной степени любая произвольно взятая бесконечная последовательность (что, опять-таки, вступает в противоречие с только что обнаруженной нами арифметической закономерностью повторений периодов для различных шагов приближений).

Обратим внимание, что период для √2 оказался равен √2 / 2, а период 5 ^ (1/3) равен (5 ^ (1/3)) / 3. То есть при извлечении несводимого радикала второй степени период задается делением на 2, а при извлечении несводимого радикала третьей степени – делением на 3 десятичного значения, взятого до начала периода.

Данная закономерность будет сохраняться для любых несводимых радикалов.

Так, все несводимые квадратные корни (√3, √5, √6, √7 и т.д.) будут задаваться делением на 2 значения, взятого до начала периода.

Все несводимые кубические корни (2 ^ (1/3), 3 ^ (1/3), 4 ^ (1/3), 5 ^ (1/3) и. т.д.) будут задаваться делением на 3 значения, взятого до начала периода, каждой из перечисленных десятичных дробей. Такое деление обуславливается размерностью (или количеством осей координат) пространства, в котором происходит построение квадратов или кубов.

В этом можно легко убедиться самостоятельно, применив метод нахождения периода для каждого из этих или любых других несводимых к целым числам радикалов. Причем, совсем не обязательно рассматривать только квадратные или кубические корни. Метод годится для нахождения периодов несводимых радикалов любой степени.

Для примера приведем несводимый бикубический корень 2 ^ (1/4) (несводимый радикал четвертой степени).   

Для него формула (1) примет видА = 2 (х^ (1/4)) - (2х – 1) , где х – число элементов стороны десятичного квадрата.

Получаем:

2 · 10000 - (2 · 10 – 1) = 20000 – 19 = 19981, 

√19981 = 11,889245776390415499769382877978…

 2 · 100000000 - (2 · 100 – 1) = 200000000 – 199 = 199999801,

√199999801 = 118,92068191873408336540051028037…

2 · 1000000000000 - (2 · 1000 – 1) = 2000000000000 – 1999 = 1999999998001,

√1999999998001 = 1189,207114705567938744818337213…

Сравним каждое из приближений с оригинальным значением дроби 2 ^ (1/4) = 1,1892071150027210667174999705605…

11,892071150027210667174999705605… - 11,889245776390415499769382877978…

= 0,00282537363679516740561682763…

118,92071150027210667174999705605… - 118,92068191873408336540051028037…

= 0,0000295815380233063494867757…

1189,2071150027210667174999705605… - 1189,207114705567938744818337213…

= 0,000000297153127972681633347…

Каждый шаг приближения указывает на период 2 ^ (1/4) / 4 =  0,29730177875068026667937499264012… Словом, для данного несводимого радикала будет справедливо то же самое, о чем мы говорили выше.

Использование этого простого и внутренне непротиворечивого метода, конечно же, означает серьезные фундаментальные изменения в основаниях современной математики.

Прежде всего, в теории чисел, потому что многие числа, которые на сегодняшний день принято считать непериодическими десятичными дробями, в соответствии изложенными здесь соображениями можно будет представить как периодические десятичные дроби.

Например, для числа Ф = (1+ √5)/2 нахождение периода связано с √5:

√5 = 2,2360679774997896964091736687313…

Тогда период √5 должен начинаться последовательностью, получаемой при делении √5 на 2:

2,2360679774997896964091736687313…/2  =

1,1180339887498948482045868343656…

Тогда можно записать, что √5 = 2,23606_111803_ (111803_).

Прибавление к √5 единицы не меняет периода:

1+2,23606_111803_ (111803_) = 3,23606_111803_ (111803_).

Деление числа 3,23606_111803_ (111803_) на 2 дает нам последовательность:

Ф = 1,6180339887498948482045868343656…

Разница между Ф и последовательностью периода √5 составляет:

1,6180339887498948482045868343656… - 1,1180339887498948482045868343656… = 0,5

Подчеркнутые части последовательностей, а также разница дробных значений равная половине той единицы, которую мы прибавляли к √5, позволяют утверждать, что число Ф может быть представлено в качестве периодической последовательности:

1,61803_55901_(55901_).  

Конечно, на первый взгляд все это кажется невероятной фантазией автора статьи.

Но необходимость в серьезных изменениях в математике возникла давно, и связана не только с предлагаемой к рассмотрению гипотезой периодичности, но и со многими другими «неразрешимыми» проблемами, которые не принято открыто обсуждать в математическом сообществе и которые не разглашаются «непосвященным» (например, факт ошибочности теории бесконечных множеств Г.Кантора, доказанный А.Зенкиным, или все то же доказательство теоремы Цермело).

Автор статьи не стремится кому бы то ни было навязывать свою точку зрения, но избегать открытого обсуждения данной проблемы тоже было бы, по меньшей мере, странно, тем более, что пока не было приведено ни одного достаточно вразумительного опровержения этой идеи.

Последнее обновление ( 07.03.2008 г. )   © 2009 Числонавтика

www.ektu.kz Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"