Характер рассуждений теперь, конечно же, изменился, но трудности, как и прежде, возникают в связи с пропастью между понятиями дискретного и непрерывного, этим неизменным камнем преткновения, играющим чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике.
А.Френкель, специалист по теории бесконечных множеств
Как-то раз мой друг (кстати, именно благодаря его критике появилась эта статья), некогда студент-математик, а ныне программист, рассказал мне один забавный случай, который произошел на матмехе.
Преподаватель предложил аудитории построить квадрат со стороной, равной √2. Тому, кто первым за одну минуту решит эту задачку, он обещал поставить зачет "автоматом". Однако, как выяснилось, никто из всей аудитории так и не смог ее решить, хотя решение было элементарным: нужно было…
... нарисовать в тетрадке квадрат, построенный по диагонали единичного квадрата. Меня бы нисколько не удивило то обстоятельство, что никто из студентов не смог найти правильное решение, если бы я не знал наверняка, что среди них были несколько человек, обладающих потрясающе развитой математической интуицией.
Так что же это было?
Растерянность, вызванная опытным лектором, массовый гипноз, неожиданная осечка математической интуиции? Или, быть может, напротив, ее торжество?
Еще одна ошибка Пифагора?
По легенде открытие иррациональных чисел связано с именем Пифагора или с одним из его учеников, который, рассматривая квадрат со стороной равной единице, обнаружил явление несоизмеримости стороны и диагонали такого квадрата.
Долгое время это открытие держалось пифагорейцами в строжайшей тайне, ведь оно противоречило их мировоззрению, основанному на представлении, что "все есть число".
Позже, когда получили свое широкое распространение десятичные дроби, число √2, равно как и другие корни, несводимые к целым числам, научились находить со сколь угодно большой степенью точности. Хотя полностью теория иррациональных чисел сложилась лишь к концу XIX века, благодаря великим немецким математикам Дедекинду, Кантору и Вейерштрассу.
Впрочем, если мы взглянем на современную теорему, доказывающую существование иррациональных чисел, то обнаружим, что в ее основе лежит все та же теорема несоизмеримости, доказанная пифагорейцами более двух тысяч лет тому назад методом четных и нечетных чисел.
Зная, что пифагорейцам не были знакомы десятичные дроби, что они не пользовались обыкновенными дробями (единица была для них "числовым атомом", неделимым числом), можно только удивляться подобной прозорливости.
Ведь теорема и представление о несоизмеримости не претерпели с тех давних пор практически никаких изменений: (Тексты двух нижеследующих теорем приводятся по учебному пособию Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой "Алгебра и элементарные функции", Москва, изд. "Просвещение", 1966 г., , Ч.I, стр. 88, 90)
Теорема I:
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Доказательство будем проводить методом от противного.Предположим, что существует рациональное число m/n, квадрат которого равен 2:
(Ф.1)
Если целые числа m и n имеют общие множители, то дробь m/n можно сократить, поэтому мы в праве сразу же предположить, что данная дробь несократима.
Из условия (m/n)² = 2 вытекает, что m² = 2n².Поскольку число 2n² четно, то и число m² тоже должно быть четным. Но тогда будет четным и число m. (Докажите это!).
Таким образом, получается, что число m=2k, где k – некоторое целое число. Подставляя число 2k в формулу m² = 2n², получаем: 4k² =2n², откуда n² = 2k².
В таком случае число n² будет четным; но тогда будет четным и число n. Выходит, что числа m и n четные. А это противоречит тому, что дробь m/n несократима.
Следовательно, наше исходное предположение о существовании дроби m/n, удовлетворяющей условию (m/n)² = 2, неверно. Таким образом, нам остается признать, что среди всех рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2.
Поэтому уравнение (m/n)² = 2 в множестве рациональных чисел неразрешимо…
Итак, среди рациональных чисел нет числа √2. Поэтому данное число должно принадлежать множеству каких-то новых, еще не изученных нами чисел: √2 = 1,41421…
Теорема II:
Диагональ любого квадрата несоизмерима с его стороной.
Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что диагональ АС квадрата АВCD соизмерима с его стороной АВ.
(рис.1)
Тогда существует общая мера этих отрезков, то есть отрезок, который в АВ укладывается ровно n раз, а в АС ровно m раз.
Если принять этот отрезок за единицу измерения длинны, то тогда длинна АВ выразится числом n, а длинна АС выразится числом m. На диагонали АС построим новый квадрат ACEF, очевидно, что площадь этого квадрата будет вдвое больше площади квадрата ABCD: (S)ACEF = 2 (S)ABCD,но (S)ABCD = n², а (S)ACEF = m², поэтому m² = 2n², откуда следует, что (m/n)² = 2. Но данное равенство противоречит Теореме I, доказанной в предыдущем параграфе: не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Следовательно, наше исходное предположение неверно, и нам остается признать, что диагональ любого квадрата несоизмерима с его стороной"Перечитывая эти знакомые со школьной скамьи теоремы, трудно предположить, что в них может содержаться логическая ошибка.
Это просто невозможно! Иначе кто-нибудь из великих математиков обязательно бы на нее наткнулся. Так, например, Ферма, перечитывая "Арифметику" Диофанта, обнаружил однажды математическую ошибку, допущенную пифагорейцами, и, вопреки им, дал свою формулировку теоремы разложения на сумму двух степеней с одинаковыми показателями.
Но все-таки… а вдруг мы и вправду имеем дело с очередной "ошибкой Пифагора"?
И несводимый к целому числу корень можно представить в виде рационального числа (m/n)², где m и n – целые числа, n ≠ 0! Как ни странно, есть такая точка зрения, которая позволяет задавать подобные вопросы. Речь идет об элементарной топологии.
Элементарная топология. Что это такое?
Если говорить коротко, то элементарная топология – это топология шахматной доски. Как и игра в шахматы, она не требует никакого особого разрешения на свое применение, не зависимо от того, признает ее или нет современная математическая наука.
Тем более, она и так используется нами уже многие тысячи лет, причем не только для игры в шахматы.
Сравнительно недавно на ее основе была создана целая виртуальная вселенная, триллионы незаметных (ну, или почти незаметных) пикселей!
Все геометрические объекты на экранах компьютеров мы воспринимаем не иначе как некое вынужденное приближение к Евклидовой геометрии (и это действительно так!), однако мало кто обращает внимание, что у этого приближения есть свои существенные отличия и закономерности. Как известно, наиболее интересное свойство шахматной доски состоит в необычном измерении расстояния на ней, которое удобнее всего определять ходом короля.
Если в Евклидовой геометрии расстояние от поля а1 до поля h8 больше, чем до поля а8, то на шахматной доске оба эти пути король может преодолеть ровно за семь ходов; если на Евклидовой плоскости две точки соединяет только один кратчайший путь, то на шахматной доске у короля есть 46 различных способов перейти с поля f7 на поле а7 за пять ходов.
В отличие от Евклидовой геометрии, элементарная топология изучает объекты, состоящие из дискретных элементов. Благодаря этой особенности она сочетает в себе и непрерывные свойства пространства, и дискретные свойства арифметики, что наиболее отчетливо проявляется в следующем утверждении: сторона квадрата равна по количеству элементов его диагонали.
Объять необъятное, постичь непостижимое…
Тождество стороны квадрата и его диагонали на первый взгляд кажется совершенно абсурдной выдумкой. Рассматривая отрезки АВ и АС (рис.1), мы видим, что данные отрезки имеют различную длину.
Однако в 1911 году Л.Бауер доказал, что не существует топологического отображения, которое бы связывало два евклидовых пространства Еa и Еb, если a ≠ b.
Другими словами, когда мы пытаемся найти соотношение стороны и диагонали квадрата (то есть двухмерного объекта) при помощи отрезков (одномерных объектов), то ставим перед собой заведомо невыполнимую задачу.
Между тем, такое решение существует, если разбить квадрат на элементы одинаковой размерности. Тогда сторона квадрата выразится тем же числом элементов, что и его диагональ (рис.2): (э)АВ = (э)АС = 4.
(рис.2)
Действительно, если бы она состояла из другого числа элементов, то при последовательном отображении АВ на СD мы бы обнаружили, что стороны квадрата АВСD состоят из разного числа элементов, что противоречило бы определению квадрата, у которого все стороны должны быть равными.
Не сложно заметить, что в элементарной топологии отнюдь не очевидно, что площадь АСЕF равна двум площадям АВСD (не потому ли среди студентов-математиков не нашлось ни одного, кто бы решил задачку преподавателя о ромбовидном квадрате).
Для того, чтобы получить отношение один к двум, известное нам из Евклидовой геометрии, необходимо достроить АСЕF до фигуры A(СC´)E´(FF´), для краткости будем обозначать ее как AC´E´F´.
Скажем сразу, что фигуры АСЕF и AC´E´F´ не будут являться привычными для нас квадратами. Условимся называть квадрат АВСD ортогональным квадратом, а фигуры АСЕF и AC´E´F´ - диагональным и мнимым диагональным квадратом соответственно.
Исходя из данных представлений, можно записать следующую формулу отношения площадей диагонального квадрата АСЕF к ортогональному квадрату АВСD:
(Sэ)АСЕF = 2(Sэ)АВСD - (2х – 1), (1)
где х – число элементов стороны ортогонального квадрата АВСD.В самом деле, для диагонального квадрата АСЕF, построенного по ортогональному квадрату АВСD со стороной (э)АВ = 4, справедливо равенство (Sэ)АСЕF = 2 · 4² – (2 · 4 – 1) = 25.
Обратим внимание, что площадь полученного нами диагонального квадрата (Sэ)АСЕF = 25 совпадает с площадью некоторого ортогонального квадрата х² = 5² = 25.
Они абсолютно равны по числу элементов! Вполне естественно было бы предположить, что извлечение квадратного корня из числа 2 сводится к решению аналогичной задачи. То есть к отысканию такого диагонального квадрата АСЕF, который оказался бы равен некоторому ортогональному квадрату х².
Принципиальным отличием здесь будет выступать только то условие, что необходимый нам диагональный квадрат АСЕF должен быть построен по диагонали конечного десятичного квадрата АВСD: 10², 100², 1000²… (и так далее, пока не найдется нужное значение). Используя формулу (1), перейдем к рассмотрению указанных десятичных квадратов и соответствующих им диагональных квадратов:
Извлекая квадратные корни из полученных чисел 181, 19801, 1998001, мы действительно будем приближаться к десятичному значению числа
√2 = 1,414213562…
√181 = 13,453624…;
√19801 = 140,716026…;
√1998001 = 1413,506632…
Сравнивая эти приближения с десятичным значением √2, целая часть которого была увеличена на соответствующую им разрядность, мы обнаружим на каждом шаге приближения десятичный остаток:
14,142135… - 13,453624… = 0,688511…;
141,421356… - 140,716026… = 0,705330…;
1414,213562… - 1413,506632… = 0,707242…
Как видим, каждый шаг приближения будет давать нам в остатке значение, все более и более точно повторяющее десятичную дробь √2/2 = 0,707106781….
Это означает, что если бы мы нашли то число, которое требуется для построения диагонального квадрата с заданными параметрами, то десятичная дробь √2 = 1,414213562… оказалась бы периодичной. Ее период можно было бы записать следующим образом:√2 = 1,414_ 707_ 707_ (707_).
А отношение мнимого диагонального квадрата к десятичному в принятом здесь для большей наглядности приближении, соответствующем разрядности 1000_², можно представить как:
(Ф.2)
Действительно, если вернуться к нашим приближениям и их десятичным остаткам, соединив данные численные значения так, как будто они являются неразрывной десятичной дробью, а затем подогнать их разрядность к разрядности √2 (перенести запятую целых частей в положение после первой единицы) и сравнить с оригинальным значением дроби 1,414213562…, то окажется, что десятичный остаток второго порядка будет также приближаться к значению десятичной дроби √2/2 = 0,707106781… (разумеется, с поправкой на разрядность, которую имели приближения):
То есть вслед за первым периодом 707_ в дроби 1,414_ 707_707_(707_) действительно должен следовать второй, точно такой же, а за ним третий, четвертый и так далее. Как и в любой другой периодической десятичной дроби.
Для исключений существуют свои правила
Современная информационная среда перенасыщена сомнительными идиомами: "не пытайся объять необъятное", "история учит тому, что она ничему не учит", "исключение только подтверждает правило", "верю, ибо абсурдно" и так далее.
Порой может показаться, что все знания, которыми мы располагаем, иллюзорны, что прогресс и развитие человечества не имеют смысла. Но это не так (иначе афоризм об истории, которая "ничему не учит", следовало бы признать неопровержимым). К тому же, на примере элементарной топологии мы убедились, что объять необъятное все-таки можно… но только частями.
Теперь, похоже, настало время поговорить об исключениях из правил. Собственно говоря, нас будет интересовать только одно исключение.
То, с которым мы сталкиваемся при рассмотрении числа √2: если данная дробь непериодична, то ее возведение в квадрат ни на каком шаге приближения не даст периодическую дробь 1,999(9) = 2,000(0), то есть число, в дробной части которого стояли бы только девятки или только нули. Но раз так, то, вообще говоря, мы не имеем полного права говорить о том, что √2² = 2.
В частности, Е.Вигнер усматривал один из признаков кризиса фундаментальной науки именно в иррациональных числах, не понимая, почему правила действий над ними были сформулированы таким образом, что воспроизводили правила действий над уже известными в математике величинами.
Так в чем же тогда заключается иррациональность числа √2, если оно является периодической десятичной дробью?
Ограниченность знаний приводит к тому, что иногда мы наделяем уже известные нам объекты функциями, которые им не принадлежат (как сказал один преподаватель матмеха, "студент не понимает, что он не понимает"). Зная только то, как пользоваться деревянной палкой, мы ударяем по каменной стене и, окончательно доломав хорошую палку, делаем вывод о неприступности стены.
Зная способ, как "идти в обход", мы огибаем горы, не подозревая, что на одной из них может находиться как раз именно то, что мы ищем. Так вот, можно с уверенностью сказать, что правила перевода десятичных дробей в обыкновенные были наделены нами одной из таких функций, которая по определению выходит за рамки их компетенции.
Действительно, в соответствии с ними любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть представлена как отношение двух конечных целых чисел:
(Ф.3)
Однако это совсем не означает, что при возведении частей данного выражения в квадрат числителе обыкновенной дроби должно появиться искомое число 199_800_1 (если бы мы получили в числителе квадратное число, то число 2 оказалось бы сводимым к ортогональному квадрату).
* Ведь мы находили число 199_800_1 только для конечного десятичного квадрата 1000_², и выражалось оно конечным целым числом 1414_², а правила перевода соотносят числитель со знаменателем, состоящим из девяток (нули можно сократить).
Требование, чтобы диагональный квадрат (Sэ)АСЕF = х² был построен не только для десятичного квадрата 1000_², но и для ортогонального квадрата 999_², столь же абсурдно, как требование, чтобы равенство площадей (Sэ)АСЕF = х² выполнялось в равной степени как для ортогонального квадрата (Sэ)АВСD = 4² = 16, так и для квадрата со стороной, меньшей на единицу, то есть, для квадрата (Sэ)АВСD-1 = 3² = 9:
(рис.3)
Как видим (рис.3), равенство (Sэ)АСЕF = х² для диагонального квадрата (Sэ)АCEF-1 сохранить нельзя, потому что диагональный квадрат, построенный по квадрату (Sэ)АВСD-1, будет состоять из 13 элементов, а это число, в отличие от 25, уже не будет сводиться к х².
При возведении в квадрат дроби 1414_707_ - 1414_ / 999_000_ нельзя сохранить и такое пропорциональное отношение, которое можно было бы приравнять к конечному целому числу 2.
Для этого нужно, чтобы в числителе, после возведения в квадрат, появилось число 199_600_2. Легко доказать, что число такого вида не может быть получено возведением в квадрат целого числа.
Но сохранение пропорции, выражаемой по-прежнему в конечных целых числах, после возведения в квадрат данного отношения и не входит в задачи, которые должны решаться правилами перевода десятичных дробей!
Так в праве ли мы на основании всего этого утверждать, что число 199_800_1 не существует?
Разве можно просто взять и сказать, что раз число 13 не сводится к х², то и возможность существования числа 25 исключена? Иррациональность √2 в том и состоит, что мы (из-за естественного желания убедиться в своей правоте) хотим убить сразу двух зайцев, то есть, по сути, найти сразу два ближайших диагональных квадрата, удовлетворяющих условию (Sэ)АСЕF = х².
Хотя для существования периода десятичной дроби достаточно и одного зайца, то есть числа 199_800_1, которое можно перевести в десятичную дробь с нулевым периодом.
Некорректное допущение, сделанное в теореме об иррациональности корня из двух можно сформулировать более четко, если записать квадратные равенства, которые мы рассматриваем, в десятичных дробях:
Первое равенство соответствует тому решению, которое выразимо в виде отношения конечных целых чисел m/n с последующим получением отношения в квадратах.
Вторая запись выражается разложением числа 2 на квадрат в виде бесконечной периодической десятичной дроби (для данной записи мы тоже пытались найти отношение, которое можно было бы представить квадратами двух конечных целых чисел (m/n)², однако, воспользовавшись правилами перевода десятичных дробей, нашли для нее лишь "неквадратное" отношение 1414_707_ - 1414_ / 999_000_).
Как видим, возведение в квадрат первого числа дает нам 1,99_800_1, а возведение в квадрат второго дает 1,99(9). Такое решение нас не устраивает, так как получается, что отношение для конечных целых чисел представимых в виде квадратов не равно отношению для бесконечной периодической десятичной дроби: m/n ≠ (m/n)².
Но данное тождество отношений m/n = (m/n)² (предполагаемое тождество, к которому мы сводили теорему несоизмеримости и которое хотели получить, используя правила перевода), невыполнимо не только для √2, оно вообще невыполнимо для отношений рациональных чисел при m ≠ n, m ≠ 0!
Чтобы в этом убедиться совсем не обязательно знать теорему Л.Бауера, для этой цели сойдет, пожалуй, любой калькулятор: 3/2 = 1,5, а 3²/2² = 2,25; 4/3 = 1,333(3), а 4²/3² = 1,777(7)… Правило "одного зайца", которое мы применили к √2, выполняется для любого квадратного корня из числа, несводимого к квадратному.
При желании подобным образом можно найти периоды для чисел √3, √5, √7 и т.д., а также периоды для несводимых кубических корней. Как тут не вспомнить об аксиоме выбора и теореме Цермело, которому в 1904 году удалось доказать возможность полного упорядочения любого множества!
И тем самым показать математическому сообществу такую "фигу в кармане", за которую о нем до сих пор отзываются с большой неприязнью, а временами обвиняют в "безумии". Хотя, кто знает?… Возможно, и такие трансцендентальные числа как π, φ, е только кажутся нам "не от мира сего"?
Может, и они образуют периоды? Во всяком случае, для числа Φ = (1 + √5) / 2 найти период не составит большого труда.
Но предоставляем данный вопрос для самостоятельного изучения читателем, подскажем только, что, вполне вероятно, период трансцендентальных чисел может быть и скрытым (например, иметь вид Р / (Рn+1 ).
Вполне соизмеримая несоизмеримость
Но вернемся к рассмотрению Теоремы Iи выводам, которые из нее следуют. Какая именно в ней допущена логическая ошибка? Достаточно ли у нас оснований, чтобы высказывать предположение о периодичности числа √2?
Вопросов возникает много, и не на все из них можно ответить сразу в одной статье. Поэтому остановимся только на некоторых. Итак, вопрос первый и, пожалуй, самый распространенный:
1. Имеем ли мы право применять теорему Пифагора в элементарной топологии, метрика которой столь разительно отличается от метрики Евклидовой геометрии?
Действительно, нельзя утверждать, что теорема Пифагора может быть полностью применена к метрике элементарной топологии. Однако и утверждать, что она не может использоваться в элементарной топологии тоже нельзя, так как она продолжает выполняться для любого ортогонального квадрата, построенного из элементов той же размерности.
Например:
(рис.4)
Для данного ортогонального квадрата (рис.4), состоящего из 4 элементов, формула a² + b;² = c² полностью выполняется и записывается как 2(э)² + 2(э)² = 2(э)√2. Как раз именно благодаря этому свойству и становится возможным использование элтопа в качестве приближения к Евклидовой геометрии.
Поскольку все наши усилия были направлены на отыскание ортогонального квадрата х², то можно с уверенностью говорить о том, что арифметическое тождество теоремы Пифагора в нашем случае остается одним и тем же, не смотря на все различия в метриках.
И Евклидова геометрия, и элементарная топология – это математические модели пространства. Модель подразумевает то, что в ней отражаются далеко не все количественные свойства пространства, поэтому нет ничего удивительного в том, что не все арифметические свойства могут быть правильно отражены в рамках Евклидовой геометрии, иначе данную модель следовало бы признать эквивалентной самому пространству.
Второй вопрос касается общего понимания Теоремы I и сформулировать его можно так:
2. Насколько корректно утверждение о периодичности √2 с алгебраической точки зрения?
Чтобы ответить на этот вопрос, еще раз взглянем на доказательство его иррациональности и применим логику Теоремы I к "квадратному" числу 4.
Мы действительно можем представить это число в виде отношения двух квадратных чисел: 16/4 = 4²/2² = 4. Но, какие бы отношения квадратных чисел мы ни брали, все они будут сокращаться и сводиться к дроби 4/1, где в числителе и знаменателе стоят целые числа, а значит, нет никаких сомнений, что число 4 рациональное.
То есть, мы можем записать: "Поскольку число 4n² четно, то и число m² тоже должно быть четным. Но тогда будет четным и число m. Таким образом, получается, что число m = 2k, где k – некоторое целое число.
Подставляя число 2k в формулу m² = 4n², получаем: 4k² = 4n², откуда n² = 4k²/4..."Другими словами, число 4n² четно (т.е 4·1² = 4). Четным является и число m² (т.е. число 4, стоящее в числителе дроби).
В самом деле, для четных чисел, сводимых к квадратам, и число m (т.е √4 = 2), несомненно, тоже будет являться четным, причем число m = 2k (т.е. 2 = 2·1), где k – целое число 1.
Дальше, подставляя число m = 2k в формулу m² = 4n² , мы получим: 4k² = 4n², откуда n² = 4k²/4… Разумеется, из этого не следует, что число n² (т.е. 1²) является четным, и из этого не следует, что число n (т.е. число 1) тоже будет являться четным. Для числа n² мы получаем тождество 1² = 1.
Дробь несократима, что и требовалось доказать.
Однако такой способ доказательства несократимости дроби нельзя признать универсальным. Так, попытка определить рациональность числа √9 методом четных и нечетных невозможна, ведь получается, что в числителе и знаменателе дроби 9/1 окажутся два нечетных числа (такие дроби могут быть и сократимыми, и несократимыми).
Но самый главный изъян доказательства состоит в другом: в том, что число k произвольно принимается в ней обязательно только целым числом. Как известно, определение рациональных чисел гласит, что рациональными числами являются числа, которые можно представить в виде отношения m/n, где m и n – целые числа, n ≠ 0.
Исходя из этого определения, мы имеем полное право утверждать, что дробь 2/1 (так же, как дробь 4/1) указывает нам на рациональное число, не смотря на то, что число 2 не сводимо к квадрату (о том, что число m должно обязательно сводиться к квадрату в определении рациональных чисел тоже ничего не сказано).
Перед нами была поставлена задача – записать отношение двух целых чисел m и n, и мы такое отношение записали. Обратим внимание: по определению рациональных чисел требовалось найти именно целые числа m и n, а не целые числа m² и n² (ведь тогда бы нам пришлось записать дробь 1,414…² / 1², то есть у нас бы не получилось выразить отношение целыми числами).
Но, поскольку в определении рациональных чисел ничего не говорится о числе k и о том, что оно должно быть обязательно четным, то нет никаких причин, по которым в равенстве m = 2k Теоремы Iнельзя было бы принять число k в качестве дробного √2/2. Тогда наше равенство примет вид 1,414… = 2 ·0,707…, а конечная дробь m/n окажется несократимой (что, в общем-то, и так ясно, если знать, что под этим отношением подразумевается вполне тривиальная дробь 2/1).
Хочется добавить, что представление о непериодичности √2 сводится, по большому счету, к весьма сомнительному и противоречивому допущению, а точнее говоря табу, существующему ны е в математике, которое касается периодических десятичных дробей с периодом (9).
В соответствии с ним все периодические десятичные дроби с периодом (9) принято считать иррациональными числами, хотя для них продолжают выполняться правила перевода десятичных дробей в обыкновенные, и любую такую дробь можно представить в виде отношения двух конечных целых чисел.
Разобраться, почему в одном случае число 2 является рациональным, а в другом (в частности, когда оно выражается отношением 18/9, получаемом после применения правил перевода десятичных дробей в обыкновенные к периодической последовательности 1,99(9)) может выступать в качестве иррационального, под силу далеко не каждому.
Поэтому, само собой разумеется, право выбора наиболее непротиворечивого подхода остается за читателем.
Но, поскольку приведенными в данной статье соображениями опровергается однозначность умозаключения о непериодичности √2 и поскольку для представления о периодичности данного числа была приведена соответствующая геометрическая модель, следует признать, что данный подход тоже имеет право на существование, а, возможно даже, является более корректным.
Ведь в соответствии с ним достаточно просто признать, что, в отличие от представителей пифагорейской школы, в математике уже давно найдено такое численное значение, которым соизмеряется сторона единичного квадрата и его диагональ.
3. Ну и, наконец, третий вопрос: имеет ли решение задачи о нахождении периода числа √2 какое-либо практическое применение?
Действительно, ведь, в любом случае, прикладное значение будет иметь лишь приближение к числу √2. Так стоит ли пересматривать сложившиеся в математике представления, если в том нет никакой насущной необходимости?
В связи с этим вопросом следует отметить, что ряд явлений в физике как раз-таки указывают на то, что гипотеза периодичности может иметь не только абстрактно-математическое применение.
Оказывается, многие геометрические, а также волновые и, собственно, физические задачи, связанные с нахождением наиболее устойчивых конструкций и стабильных состояний систем, решаются с непосредственным использованием числа √2. К примеру, приведем простую задачку о нахождении строительной балки наибольшей прочности.
Известно, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты h. Как показывают инженерные расчеты, отношение h/a для самой прочной балки будет равно √2 или приблизительно 7/5 (Детская Энциклопедия для среднего и старшего возраста. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 2, М., 1965, "Просвещение", стр. 367).
Поскольку, в конечном счете, свойство прочности, равно как и другие свойства, связанные с устойчивым состоянием физических систем, обусловлены электромагнитными взаимодействиями атомов вещества, то, стало быть, и появление числа √2 в подобных задачах вряд ли является случайностью. А раз так, то проблема периодичности данного числа приобретает в физической науке уже принципиальное значение.
Так, только конечный период числа √2 может стать достаточно надежным основанием для введения подсистемы координат Евклидового пространства, описывающей пространственное перемещение квантовых объектов.
Если периода у данного числа не существует, то не существует и конструктивного способа, при помощи которого можно было бы задать нужный для такой подсистемы метрический эталон**. Как мы уже убедились, элементарная топология с ее отличительными особенностями метрики позволяет осуществлять переход от одного положения к другому сразу несколькими "наикратчайшими" способами.
Подобный характер движения объектов имеет место и в квантовой физике. Кто знает, вполне возможно, кто-то из сегодняшних школьников – будущих математиков и физиков – возьмет да и разработает через несколько лет такую модель, которая бы позволяла существенно расширить возможности для дальнейших исследований в области квантовой физики и, возможно, на основании такой модели создаст общую теорию поля?
Причем, для начала таких физико-математических экспериментов не требуется ни сверхмощных ускорителей, ни чувствительных оптических приборов. Достаточно лишь навыков программирования, настойчивости и наблюдательности.
Ну и, разумеется, определенных познаний в математике и физике!
Конечно, исследование иррациональности выходит за рамки собственно математической проблемы. Мы настолько привыкли к "иррациональности" окружающего нас мира, что порой перестаем замечать, что главной причиной такой иррациональности являемся мы сами.
Доля иррациональности присуща всему, что в меру нашего частичного или полного непонимания остается пока необъяснимым. Можно сказать, что наша фундаментальная наука, находящаяся еще только в стадии своего становления, тоже несет определенную ответственность за культурную деградацию, наблюдаемую в современном обществе.
Квантовая физика, теория бесконечных множеств, мистическая "вездесущность" числа φ, а также другие факты, выявленные, но не объясненные нашей наукой должным образом, широко используются для утверждения позиций иррационализма, идущего рука об руку с насаждением во всем мире лжегуманизма, и способствуют распространению агностических представлений ("для каждого существует своя правда", "истина не доступна сознанию" и т.д.).
Но приверженность иррационализму, в какой бы форме он ни выражался, в конечном счете, ведет лишь к постепенному вырождению, а не к "возрождению духовности", как полагают некоторые.
Не надо бояться знаний, приводящих порой к абсурду и подрывающих нашу уверенность в своих силах. Возможности познания гораздо шире, чем мы в состоянии себе вообразить, и преобладание в обществе взглядов о том, что человек, якобы, познал "уже почти все", не подтверждается на практике.
Всему есть свое объяснение и, в том числе… даже иррациональному! ====================================================
* Здесь, возможно, следует дать более подробное разъяснение.
Так как к ортогональному квадрату х² (или к числу 199_800_1) сводится не вся последовательность дроби 1,414_707_(707_), а только значение, взятое из той ее части, которая стоит до начала периода, то и возведение в квадрат полностью всей дроби действительно не будет иметь решения в конечных целых числах!
Ведь если бы мы смогли записать такое отношение в конечных целых числах, то следовало бы признать, что между квадратными и неквадратными числами нет совершенно никакой разницы. А такая разница есть.
Дело в том, что условие, поставленное нами для решения данной задачи (построение диагонального квадрата по основанию десятичного, который бы оказался равен ортогональному х²), оказывается настолько жестким, что из всего бесконечного множества возможных чисел найдется лишь одно единственное значение, удовлетворяющее нашему условию.
Поэтому, можно сказать, что число 199_800_1 является в этом смысле уникальным.
Однако любое другое число при достаточно жестких условиях тоже будет являться уникальным, так, например, только возведение в степень числа 1 дает нам значение, равное показателю данного числа без степени. То есть, свойство уникальности не является чем-то характерным исключительно для числа 199_800_1.
Если бы мы поставили менее жесткое условие (скажем, просто найти диагональный квадрат, равный ортогональному), то нам бы, кончено, не потребовалось рассматривать такую астрономически длинную (и неудобную даже для сокращенной записи) последовательность 199_800_1.
Мы бы остановились на квадрате из 25 элементов. Но нам требуется построить диагональный квадрат равный х² именно по основанию десятичного квадрата, так как мы изучаем последовательность десятичной дроби 1,414…
Поскольку поставленные нами условия делают число 199_800_1 (а значит, и число 1414_, которое следует возвести в квадрат) уникальным, то любое действие, произведенное над данной последовательностью, будет означать определенное изменение и в условии задачи.
Отыскивая значение (m/n)², мы вынуждены возводить в квадрат дробь 1414_707_ - 1414_ / 999_000_. Но, поскольку к отношению, выразимому в ортогональных квадратах, сводится лишь часть данной последовательности, то нужно возвести в квадрат и отношение 1414_ / 1000_ , то есть записать 1414_·1414_ / 1000_·1000_.
Как видим, в знаменателе теперь будет стоять число 1000_² = 1000_000_, число, казалось бы, никак не связанное с условием задачи, и которое появилось в знаменателе дроби 1414_ / 1000_ только для того, чтобы показать, что десятичная дробь 1,414_ является рациональным числом.
Но число точно такой же разрядности (1000_000_) стоит и в условии задачи, в соответствии с которым мы находили квадратный корень 1414_ из диагонального квадрата 199_800_1 (вспомним отношение мнимого диагонального квадрата к десятичному):
(Ф.2)
Нельзя требовать, чтобы по условию числу 1000_000_ соответствовало действие нахождения конечного целого числа 1414_, а по решению задачи этому же числу соответствовало действие возведения числа 1414_ в квадрат, так, как будто оно уже было найдено по основанию какого-то другого десятичного квадрата.
Поэтому сохранение тождества условия и решения задачи возможно лишь в том случае, если основное условие задачи (отношение мнимого диагонального квадрата к десятичному) тоже будет аналогичным образом возведено в квадрат.
Так мы получим новое условие:
(Ф.4)
Данное изменение условия перестанет соответствовать отношению, известному нам из Евклидовой геометрии S(ACEF) / S(ABCD) = 2/1.
Полученное на этот раз отношение 4/1 = 4 выражается обычным ортогональным квадратом (или последовательностью, полностью представимой в виде отношения двух ортогональных квадратов), следовательно, нам уже не требуется искать диагональный квадрат и находить частично сводимую к квадрату последовательность.
Более того, если бы такое принципиальное изменение условия было бы выполнимым, то есть, если бы вместо значения 2/1 мы бы могли взять значение 2²/1² = 4/1 и найти для него нужный нам диагональный квадрат, то это бы означало, что во множестве рациональных чисел выполнимо тождество m/n = (m/n)². Что, конечно же, не верно.
Теперь для целостного понимания остается только объяснить способ, при помощи которого последовательность 1,414_707_(707_) все-таки можно представить в виде отношения квадратов двух целых чисел. Это не оговорка! Именно так оно и есть, потому что целым числом может быть как конечное, так и бесконечное число.
Правила перевода десятичных дробей в обыкновенные продолжают выполняться не только для первого, но и для любого другого периода десятичной дроби, в том числе, и для бесконечно большого числа периодов.
Поэтому можно записать:
(Ф.5)
Данная запись не противоречит определению рациональных чисел, так как в нем не уточняется, что целые числа m и n должны быть обязательно конечными целыми числами. И данная запись не противоречит указанному выше условию о несводимости всей последовательности к квадрату.
Так, при возведении всей последовательности в квадрат мы никогда не получим собственно значение 2, потому что на каждом шаге приближения для получения целого значения 2 нам будет не хватать единицы.
Однако, если над последовательностью 1,99(9) произвести дополнительное действие, то окажется, что, несмотря на невозможность осуществить непрерывное преобразование, удовлетворяющее получению отношения в конечных целых числах, любой шаг последовательности 1,99(9) (а значит, и бесконечно большой!) будет сводиться к значению 2 при помощи все тех же правил перевода десятичных дробей в обыкновенные:
(Ф.6)=====================================================================================** В 1913 г. А.Эйнштейн писал: "Интервал ds должен быть абсолютным инвариантом, который следует понимать как инвариантную меру для расстояния между двумя соседними пространственно-временными точками". И далее: «Можно убедительно доказать, что реальность вообще не может быть представлена непрерывным полем».
Из квантовых явлений, по-видимому, следует, что конечная система с конечной энергией может полностью описываться конечным набором чисел (квантовых чисел). Это, кажется, нельзя совместить с теорией континуума и требует для описания реальности чисто алгебраической теории.
Однако сейчас никто не знает, как найти основу для такой теории". (см..[6] стр. 60-71).
Список использованной литературы:
[1]. Н.Я.Виленкин. "В поисках бесконечности", М., "Наука", 1983
[2]. Е.Вигнер. "Этюды о симметрии", М., 1971
[3]. Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова. "Алгебра и элементарные функции", Москва, изд. "Просвещение", 1966 г., , Ч.I.
[4]. Е.Я.Гик. "Математика на шахматной доске", М., "Наука", 1976
[5]. Детская Энциклопедия для среднего и старшего возраста. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 2, М., 1965, "Просвещение"
[6]. Г.Е.Горелик. "Почему пространство трехмерно?", М., 1982В электронном виде статью можно скачать на сайте:
