Авторское название: «Как числа стали абстрактными»
Простой с виду вопрос: "Что такое число «2» (два)?" способен вызвать затруднение не только у человека, далекого от "точных" наук, но и у людей, профессионально занимающихся проблемами математического естествознания.
На уточняющий вопрос: "Где находится число 2 (два)?" теми и другими, после непродолжительного раздумья обычно дается одинаковый ответ: "В мышлении".
От редакции сайта Числонавтики.
Другой подобный вопрос: «Скажите, а вам нужно «24» (двадцать четыре)? Большинство опрошенных, в ответ задают свой, уточняющий вопрос: «А 24 - чего? Тысяч рублей или 24 неприятности?».
В здравом уме и трезвой памяти у людей количественная определённость чисел никогда не отрывается от качественной определённости тех же чисел. Просто потому, что это противоестественно!
И всё это не смотря на то, что людей уже сотни лет математики насильно приучают к тому, что у чисел нет никаких качеств. Что они обладают только количественными характеристиками! Что они – только мысленная абстракция!
А мы всё так и не можем поверить в эту… математическую химеру…
|| Вымышленное чудовище: перед львиный, средина козлиная, а зад змеиный. ||
|| Странная рыба северных морей, переход к гадам. ||
|| Фантазия, мечта, нелепость, пустая выдумка. ||
Химерный, —рический, вздорный, пустой, нелепый, придуманный без смыслу. — ность, качество по прил. —ничать, строить химеры, видеть мнимые страшилища. //Словарь В. Даля//
-----ХХХ-----
Существование чисел якобы в мышлении означает, что, например, числа 1, 2, 3, ... рассматриваются в современной науке как абстрактные объекты, а не просто как числительные, служащие для счета существующих в реальном пространстве вещей.
Именно такие абстрактные числа стали предметом рассмотрения в VII–IX книгах "Начал" Евклида, что предопределило на многие века традицию понимания теоретической арифметики как науки об идеальных, бестелесных объектах 1).
Подобное понимание предмета арифметики не было единственным в античности (см., например, специально посвященную этой проблеме работу [1], где евклидовой арифметике противопоставляется пифагорейская арифметика камешков Никомаха).
Однако, доминирующее положение в древнегреческой и новоевропейской математике суждено было занять подходу Евклида.
В исследованиях по истории древнегреческой математики
вопрос о способе превращения пифагорейских телесных чисел
в бестелесные числа Евклида
до последнего времени не поднимался.
В вышедшей недавно работе [2] В.А. Янкова, наряду с другими проблемами, рассматривает и этот вопрос,
и предлагается оригинальная концепция
генезиса арифметики идеальных объектов.
Суть концепции В.А. Янкова в данном вопросе состоит в следующем.
Рассматривая реконструированные О. Беккером первоначальные доказательства 21–23 предложений IX книги "Начал", автор замечает, что в подобных рассуждениях конфигурации из камешков не "представляли" еще стоящих за ними каких-то идеальных чисел, что числа у пифагорейцев и были этими конфигурациями псефосов.
Вместе с тем, по мнению В.А. Янкова, именно такие рассуждения, только примененные к обоснованию предложений специального вида – "гномональных" теорем о суммировании нечетных и четных чисел, и послужили появлению в математике первых действительно строгих доказательств.
Объяснение этому феномену следует, по мысли автора, искать за пределами собственно математики – в философии пифагорейцев [2, с.211, 216-217].
Расширение конфигураций монад, происходящее в этих доказательствах при увеличении количества слагаемых, сходно с космогоническим пифагорейским процессом, так что процесс математического построения оказывался для них формой мистического соучастия в космогенезисе.
Камешки, с помощью которых проводились рассуждения, оставаясь реальными телесными вещами, в то же время представляли идеальные, только лишь мыслимые монады, отвоевавшие когда-то у окружающего Хаоса в процессе управляемого перасом собственного расширения островок стабильности – прекрасный Космос.
Эти монады и являются
подлинным объектом пифагорейской арифметики,
а их особая устойчивость, обеспечивающая порядок
в порожденном ими Космосе,
придает утверждениям арифметики большую степень строгости
в математике становится сначала, согласно В.А. Янкову,
не число как таковое,
а отношение между числами [2, с.231].
Это утверждение выглядит вполне естественным и вряд ли подлежащим сомнению.
Достаточно только вспомнить соответствующие определения
из V книги евклидовых "Начал":
3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.
4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.
5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.
6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными" [3, с.142].
Уже первое из них является весьма абстрактным, сводя понятие отношения к более общему понятию зависимости.
Можно, правда, попытаться обойтись без него, ограничившись частным случаем отношения величин из п. 4, которому в принципе можно придать предметный, наглядный характер 2).
Но, особого смысла в подобных усилиях все равно нет, так как основное – пятое (5) утверждение – из рассматриваемой череды определений не обладает какой-либо предметной интерпретацией ввиду отсутствия возможности на деле проверить выполнимость предписываемого условия.
Данное условие можно потребовать только на словах, а потому понятие пропорциональных величин (из п.6) носит всецело абстрактный характер 3).
Учение о пропорциях, как известно, было развито пифагорейцами, и с точки зрения концепции В.А. Янкова, следовало бы ожидать, что абстрактный характер понятия пропорции должен был проявиться в соответствующих древних текстах.
Пифагорейско-платоническое учение о пропорции служит предметом специального рассмотрения в фундаментальном исследовании А.Ф. Лосева [6, с.250–275].
Однако выводы, к которым приходит в результате анализа "Послезакония" и "Тимея" этот крупнейший специалист в области античной философии, существенным образом расходятся с предполагаемым абстрактным толкованием пропорций среди последователей Пифагора.
А.Ф. Лосев утверждает, что абстрактно-арифметический характер учения о пропорциях "вовсе не свойствен ни Платону, ни пифагорейцам" [6, с.255].
Данное утверждение иллюстрируется на примере одного места из "Тимея": "... если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самого с крайними.
Однако, оно должно было стать трехмерным, а трехмерные предметы никогда не сопрягаются через один средний член, но всегда через два" [7, с.435].
Опираясь на работу Мартена [8, с.337–342], Лосев настаивает на невозможности абстрактно-арифметического толкования данного места.
Возможность вставки в геометрическую пропорцию между плоскими фигурами только одного члена, а для тела – двух членов, становится понятной, лишь если принять во внимание геометрическую трактовку пифагорейцами целых чисел, когда "первые" (простые) числа трактуются как линейные фигуры, состоящие из двух простых множителей числа – как плоские, являющиеся произведениями трех простых сомножителей – как трехмерные тела.
"Для современной математики нет никаких оснований считать первые числа линейными, а составные плоскими и телесными.
Платон же хотел самое отсутствие целых делений внутри первого числа понять геометрически, почему он уподобил его прямой, имеющей только одно измерение" [6, с.257–258].
Если в данном случае использование геометрических представлений еще можно попытаться объяснить особенностями построений Платона, когда при помощи пропорций решается задача устроения Космоса, то для музыкальных пропорций использование Платоном пространственных представлений выглядит уже совсем странным с абстрактно-арифметической точки зрения.
Однако и акустические пропорции, по убеждению А.Ф. Лосева, трактуются в "Тимее" не отвлеченно арифметически, а "качественно-пространственным" 4) способом [6, с.263–267].
Даже если не соглашаться со всеми деталями данной А.Ф. Лосевым реконструкции Космоса в "Тимее", все равно трудно избавиться от ощущения, что для Платона и пифагорейцев пропорция есть "пропорциональное бытие и потому характеризуется свойствами этого бытия" [6, с.273].
Подобное понимание согласуется и с трактовкой арифметической, геометрической и гармонической пропорций Архитом (47 B 2), который вместо абстрактного термина "отношение" употребляет везде музыкальный термин "интервал" [9, с.457].
Справедливости ради следует отметить, что в отношении музыкальной теории позиция Платона не всегда совпадает с пифагорейской.
В известном месте диалога "Государства" говорится, что пифагорейцы "ищут числа в воспринимаемых на слух созвучиях, но не подымаются до рассмотрения общих вопросов и не выясняют, какие числа созвучны, а какие нет и почему" [7, с.315].
Платон противопоставляет здесь числам-вещам пифагорейцев находящиеся вне Космоса идеальные числа.
Если недоступность этих чисел чувственному восприятию истолковать как указание на их абстрактный характер, то тогда и соответствующие пропорции, в противоречии с "Тимеем", также необходимо будет понимать абстрактно-арифметически, однако в подобном толковании нет необходимости.
Вынесение чисел (как и идей вообще) за пределы Космоса
не лишает их телесного характера 5),
оно делает их просто недоступными для глаз
находящегося на Земле человека.
Такое понимание непосредственно вытекает из описания в "Федре" способа узрения душами подлинного бытия в занебесной области, которое доступно им, лишь когда они стоят на небесном хребте, но сразу становится невидимым, стоит только душе опуститься (по своему ли желанию или под напором других рвущихся наверх душ) внутрь небосвода [11, с.155–158].
Подобным образом нельзя рассматривать как указание на возможность понимания Платоном чисел в качестве абстрактных объектов и другой известный пассаж из "Теэтета", где числа "пять" и "семь" противопоставляются "пяти и семи человекам" и рассматриваются как "знаки, запечатленные на дощечке из воска" [11, с.256].
Чуть выше Сократ 6) противопоставляет видимому человеку человека только лишь мыслимого, а далее дает ясно понять, что мыслимые числа в противовес видимым рассматриваются им в соответствии с этой аналогией.
Отпечатки на восковой дощечке, отождествляемые Сократом с ощущениями и воспоминаниями о них, и в этом случае соотносятся с телесными числами и не требуют наличия какого-либо представления об абстрактных числах 7).
Если далее Сократ противопоставляет пересчет знатоком арифметики неименованных чисел счету внешних предметов [11, с.259] 8), то отвлеченный характер первых здесь должен пониматься не как синоним абстрактности, а лишь как указание на существенное различие между принадлежащим пифагорейцам высоконаучным представлением о "числе-вещи" и обыденным представлением о "числе вещей" 9).
Мы видим, таким образом, что предположение В.А. Янкова об абстрактном характере понятия отношения чисел у пифагорейцев не находит непосредственного подтверждения в текстах древних авторов.
Иной подход на проблему возникновения представления об абстрактных числах (и математических предметах вообще) можно найти у Аристотеля.
Стагирит (Аристотель – ред.), с одной стороны, признавал правомерным представление математиков о бестелесных абстрактных числах, считая правильным полагать "отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр" [12, с.326].
А с другой же стороны он критикует академиков (в противовес пифагорейцам) за отстаивание взгляда об отдельном существовании (телесных) математических предметов.
Корни указанного заблуждения он видит в том, что математические аксиомы считаются ими не приложимыми к чувственно воспринимаемым вещам [12, с.358].
Необходимо отметить, что у академиков были веские основания для подобного взгляда. Аристотель не отрицает, что "чувственно воспринимаемые линии не таковы, как те, о которых говорит геометр" [12, с.106].
Для подведения (подгонки – ред.) под фактический способ действий геометров с исследуемыми ими объектами философского фундамента Стагириту пришлось создать оригинальное учение о математической абстракции, в корне отличающееся от предшествующих взглядов пифагорейцев и Платона.
Аристотель первым предпринял попытку рассматривать математические предметы существующими не самостоятельно, а лишь в качестве "соотнесенного", как предмет знания [12, с.324-325].
На вопрос, по какой причине математические объекты, существующие лишь в качестве замкнутого самого на себя предмета знания, тем не менее правильно описывают реальное положение дел вне человеческой головы, Аристотель предлагает весьма нетривиальный ответ:
… Ум-перводвигатель, содержащий в себе эйдосы природных тел, “гарантирует” одновременно как адекватность воплощения этих эйдосов в материальные тела [12, с.307, 309–311, 318], так и адекватность восприятия форм этих тел познающей душой [12, с.433–434, 440].
С точки зрения Аристотеля и его специального подхода нет какой-либо принципиальной разницы в способе абстрактного рассмотрения чисел или геометрических величин.
"В самом деле, человек, поскольку он человек, един и неделим, и исследователь чисел полагает его как единого неделимого и затем исследует, что свойственно человеку, поскольку он неделим.
Геометр же рассматривает его не поскольку он человек и не поскольку он неделим, а поскольку он имеет объем" [12, с.326].
В [10, с. 300–302] показано, что учение об Уме-перводвигателе, при помощи которого Аристотель строит свою теорию абстракции, было выработано им с опорой на предварительно осуществленное геометрами преобразование их науки в форму аксиоматически построенной системы знания.
Освобождение аристотелевской теории математической абстракции от представления об Уме-перводвигателе было осуществлено стоиками.
Рассмотрение подхода стоиков представляет интерес не только вследствие того, что его воздействие заметно в "Началах" 10), но и потому, что в современное математическое естествознание предложенная Аристотелем схема интерпретации абстрактных объектов вошла именно в стоической модификации.
В логике стоиков абстрактные понятия числа и фигуры становятся частными случаями бестелесного «лектон».
Определение понятия "лектон" приведено у Секста Эмпирика [13, с. 418], где об этом нововведении стоиков говорится буквально следующее:
«Высказываемым они называют имеющееся согласно словесному представлению (logik3/4n fantas…an), а словесным называется представление, в соответствии с которым представленное имеется при помощи речи».
Обоснование представления о «лектон» у стоиков внешне уже никак не связано с математикой и опирается на пример с восприятием речи греками и варварами.
"Стоики утверждают, что три (вещи) между собой сопряжены – обозначаемое, обозначающее и объект.
Из них обозначающее есть звук, например “Дион”; обозначаемое – тот предмет, выражаемый звуком, который мы постигаем своим рассудком, как уже заранее существующий, а варвары не воспринимают, хотя и слышат звук; объект – внешний субстрат, например сам Дион.
Из них две вещи телесны, именно звук и объект, одна – бестелесна, именно обозначаемая вещь, и это есть высказываемое, которое бывает истинным и ложным" 11).
Если взглянуть на проблему происхождения абстрактных чисел с этой точки зрения, то любая историческая реконструкция неизбежно будет носить более или менее случайный характер, так как абстрактно не только понятие числа или треугольника, но и все прочие понятия, рассматриваемые как "формы мышления".
И тогда заслуга стоиков заключается как раз в том, что они освободили представление об абстрактных объектах от первоначальной "математической оболочки".
Но, так ли убедительно приведенное обоснование лектон
и не содержит ли оно в скрытой форме
связь с математическими абстракциями
как его первообразами?
Нет нужды доказывать, что сам по себе данный аргумент не достаточен для заключения о существовании отличного от предмета и обозначающего его слова бестелесного лектон.
Аристотель задолго до стоиков принимал во внимание существование различных языков, однако не делал из этого каких-либо далеко идущих выводов. Согласно Стагириту, "то, чтo в звукосочетаниях, – это знаки представлений в душе, а письмена – знаки того, чтo в звукосочетаниях.
Подобно тому, как письмена не одни и те же у всех [людей], так и звукосочетания не одни и те же.
Однако, представления в душе, непосредственные знаки которых суть то, чтo - в звукосочетаниях, у всех [людей] одни и те же, точно так же одни и те же и предметы, подобия которых суть представления" [15, с.93].
Детерминация смысла слов предметным содержанием и, соответственно, безразличие к особенностям их звукового выражения в разных языках непосредственно связаны у Аристотеля с его концепцией «Ума-перводвигателя».
Мыслящая часть души – ум человека – способна адекватно воспринимать формы всевозможных предметов и в этом отношении, в принципе, столь же совершенна, как и объемлющий космос Ум.
Разница между ними, прежде всего в том, что последний мыслит эйдосы постоянно и все одновременно [12, с.310], человеческий же ум мыслит все лишь потенциально, а актуально лишь какой-то один эйдос. С этой точки зрения правильность отдельных мыслительных актов никоим образом не зависит от формальных возможностей, предоставляемых различными языками и письменностями.
Гарантом правильного мышления, по Аристотелю, в конечном счете оказывается Ум-перводвигатель [15, с.346], отнюдь не обязанный мыслить по-эллински или на каком-то ином частном языке. С отказом у стоиков от представления о космическом Уме факт соответствия слов в разных языках стал требовать другого объяснения.
Место воплощенных в реальных предметах идеальных форм, "ответственных" за содержание слов различных языков в аристотелевской концепции, у стоиков заняли предметы мыслимые, "помещаемые" в индивидуальной душе.
Современному читателю обоснование существования бестелесного лектон через пример с восприятием речи варварами не должно показаться чрезмерно сложным.
У него перед глазами стоит работа синхронного переводчика, который практически мгновенно находит эквиваленты словам разговаривающих на различных языках собеседников, даже не успевая физически представить промежуточные реальные прообразы переводимых им терминов.
Воистину он опирается лишь на идеальные смыслы произносимых первоначально не им слов, делая это более или менее безошибочно благодаря многолетней специальной тренировке.
Тем не менее, даже самый блестящий синхронный перевод
не свидетельствует в пользу справедливости
философского утверждения
о самостоятельном существовании подобных идеальных значений.
Если профессионал экстракласса в состоянии непосредственно “замыкать” термины одного языка на их словесные эквиваленты в другом, то из этого не следует, что и в процессе обучения он мог также обходится без предметных значений.
Очевидно, у переводчика идеальные значения производны от соответствующих предметных значений и потому не обладают самостоятельным существованием.
Стоики же настаивали именно на "самобытном" существовании лектон. И повод для подобного представления могла, как и для Аристотеля, дать только аксиоматически построенная геометрия.
В дедуктивной геометрии человек впервые сталкивается с ситуацией, когда оформленная в виде речи мысль оказывается замкнутой сама на себя [16, с.202-204].
И хотя представления о геометрических объектах первоначально возникают в индивидуальной душе не без помощи чувственных восприятий, в доказательствах их свойств опираются не на эти впечатления, а исключительно на словесно сформулированные предположения.
Источником представлений может быть нарисованный треугольник или четырехугольник, но не это впечатление, а соответствующее ему словесно оформленное представление оказывается основой последующих доказательств.
Именно геометрия вынудила стоиков подразделить представления на чувственные, которые воспринимаются посредством одного или нескольких органов чувств, и внечувственные, возникающие в человеке при помощи речи.
Только в сложных геометрических утверждениях наподобие теоремы о сумме углов в треугольнике чувственных представлений оказывается недостаточно для построения науки.
Чувственных образов фигур достаточно лишь для понимания формулировок утверждений, но для их доказательства приходится прибегать к внечувственным представлениям, т.е. к лектон.
Справедливости ради надо признать, что обращение к восприятию иноязычной речи было для стоиков единственно возможной попыткой обоснования наличия лектон.
Хотя Аристотель и сознавал связь собственного учения о бестелесном Уме-перводвигателе с дедуктивным способом построения геометрии, стоики не могли основывать свою критику аристотелевского учения на отказе от аксиоматики.
Для этого основоположнику стоицизма Зенону Китионскому и его последователям потребовался бы критический анализ истории математики, предпосылок для которого в античности не было.
Для придания же бестелесного статуса всем осмысленным высказываниям языка на него необходимо было взглянуть под новым, необычным углом зрения.
Платон в диалоге “Кратил” не случайно уподобил имена орудиям [17, с.619], имея в виду прежде всего практическое назначение языка. Прежде чем служить теоретическим изысканиям, язык в первую очередь должен обслуживать потребности повседневной жизни, где в конкретных ситуациях наличный контекст позволяет согражданам подбирать соответствующие слова обычно на подсознательном уровне, без какой-либо рефлексии над стихийно происходящим процессом речи.
В специальных научных исследованиях функциональные требования к языку гораздо выше, что приводит, в частности, к необходимости выработки новых понятий и соответствующих терминов, однако стоики намеревались охватить язык во всем его объеме, включая обыденное словоупотребление.
Для того чтобы "отойти" от привычной предметной детерминации речи на "нижнем уровне" ее наличного бытия необходимо вырваться за пределы окружающей индивида языковой среды, а последнее возможно только в том случае, когда этот индивид вступает в контакт с носителями иного, незнакомого ему языка.
Если подобный контакт для него не более чем мимолетное стечение обстоятельств, то в воспоминаниях о нем речь иноземцев запомнится только с ее внешней, звуковой стороны.
В случае же потребности в установлении хотя бы минимального взаимопонимания ему придется с помощью языка жестов попытаться понять смысл хотя бы самых простых слов и выражений, а здесь то и возникнет необходимость в обращении к общим предметным значениям для "встретившихся" языков. Только так и никак иначе можно установить соответствие между основными словами данных языков.
Своим примером стоики зафиксировали ситуацию "незаинтересованного", созерцательного отношения к иностранному языку, благодаря чему и смогли расширить свою концепцию "бестелесных высказываний" с предложений, касающихся свойств геометрических объектов, на суждения общего вида.
Бестелесность самих геометрических объектов также связана с созерцательным характером греческой геометрии [18, с.282–283]. Необходимо, однако, отметить, что превращение языка из средства общения в объект незаинтересованного созерцания, продемонстрированное стоиками, представляет гораздо более сильный вариант абстракции, нежели у геометров.
Прецедент в интерпретации чувственных представлений как мысленных абстракций, впрочем, создал впервые Аристотель и именно в трактовке математических понятий.
Но, если у Стагирита в соответствии с его общей психологической концепцией адекватность мысленных операций чувственной реальности гарантируется "сродством" индивидуального ума бестелесному Уму-перводвигателю, где и пребывают изучаемые математикой эйдосы, то у стоиков за соответствие словесных построений геометрии окружающему миру "отвечает" божественный Логос.
Поскольку в отличие от аристотелевского Нуса огненный Логос телесен, то математические объекты стоикам и пришлось трактовать как особого рода лектон.
Вместе с геометрическими предложениями статус бестелесных, таким образом, получают и все высказывания, служащие объектом изучения стоической логики.
Подведем итоги рассмотрения проблемы превращения телесных пифагорейских чисел в бестелесные числа у Евклида.
В концепции В.А. Янкова за геометрией признается первенство перед арифметикой в деле аксиоматизации [2, с.228], однако возникновение абстрактных понятий в арифметике не связывается с существом аксиоматических рассуждений.
Вместе с тем, анализ работ Аристотеля позволяет показать производный характер арифметических абстракций по отношению к абстракциям аксиоматической геометрии.
Косвенным образом к подобному заключению можно придти и на основе анализа стоической модификации аристотелевской теории абстракции, принятой в современном математическом естествознании.
Но раз так, то предпосылки возникновения абстрактных объектов в арифметике (и пропорций, и самих чисел) следует искать, на мой взгляд, в преобразующем воздействии аксиоматической геометрии, а не в особенностях пифагорейской философии.
Примечания по тексту (сноски)
1) Заучиваемая в начальной школе таблица умножения имеет дело именно с такими "нечувственными" объектами.
2) Применительно к геометрическим величинам этот вопрос обсуждается в [4, с.13–14].
3) Впрочем, приведенные определения приписываются Евдоксу, а более раннее, восходящее к пифагорейцам, определение 21 из VII книги: "Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же “частями”" [5, с.10] может быть проинтерпретировано и в рамках "телесной" арифметики Никомаха.
4) Т.е. через взаимоотношения физических элементов.
5) См. [10, с.299–300].
6) В данном случае я считаю возможным полностью довериться указанию Платона [11, с.193] на содержание "Теэтета" как на подлинную запись беседы Сократа с юным математическим гением.
7) Даже об идеальных числах в духе диалогов "Государство" и "Федр".
8) И здесь уже не исключается представление о невидимых телесных идеальных числах.
9) Такой же характер (с поправкой на отсутствующую у пифагорейцев "идеальность") имеет противопоставление Платоном двух видов чисел в "Филебе" и в "Государстве" [7, с.65, 306–307].
10) Вместо "аксиом" в "Началах" Евклид использует введенные стоиками "общие понятия".
1. Вандулакис И.М. О стиле неопифагорейского арифметического мышления / / Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб., 1999. С.324–330.
2. Янков В.А. Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция) / / Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1997. Вып. 2 (37). С.200–236.
3. Евклид. Начала /Пер. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского при ред. участ. М.Я. Выгодского и И.Н. Веселовского. М.– Л., 1948 – 1950. Т.1–3. Т. 1. Кн. I – VI. М., 1948.
4. Бычков С.Н. Об особенностях античного метода исчерпывания / / Историко-математические исследования. М., 1990. Вып. 32–33. С.11–20.
5. Евклид. Начала /Пер. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского при ред. участ. М.Я. Выгодского и И.Н. Веселовского. М.– Л., 1948 – 1950. Т.1–3. Т. 2. Кн. VII – X. М., 1949.
6. Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. Изд. 2-е исправленное, доп. М., 1994.
7. Платон. Собрание соч. в 4 томах. М., 1994. Т.3.
8. Martin H. Etudes sur le Timee de Platon. P., 1891.
9. Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики. М., 1989.
10. Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис / / Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб., 1999. С.288–304.
11. Платон. Собрание соч. в 4 томах. М., 1993. Т.2.
12. Аристотель. Сочинения в 4 томах. М., 1976. Т.1.
13. Sextus Empiricus. Opera, rec. H. Mutschmann; III, ed. J. Mau; I–III, IV Indices adiec. K. Yanacek, Lipsiae, 1912–1954; 1961-1962.
14. Античные теории языка и стиля. СПб., 1996.
15. Аристотель. Сочинения в 4 томах. М., 1978. Т.2.
16. Бычков С.Н. Геометрия и аксиоматический метод / /Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1996. Вып. 1 (36). № 2. С.195–204.
17. Платон. Собрание соч. в 4 томах. М., 1990. Т.1.
18. Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука / /Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2001. Вып. 6 (41). С.277–284.
