Статья, публикуемая ниже, есть пример исследований в области т.н. теории чисел. Древней, сложной и не слишком активно развиваемой области математики. Для числонавтики эта сфера познания является весьма значимой, поскольку на практике открываются новые способы действия (обращения) с числами, с которыми, обращаются, прежде всего, как с цифровыми структурами.
Открываемые исследователями новые манипуляции демонстрируют, как правило, удивительные свойства и реально продвигают теорию чисел. Цифровые структуры (чисел) в таких манипуляциях позволяют увидеть ранее не обнаруженные (математикой) закономерности.
Особенно примечательно то, что такие новые операции на практике оказываются весьма простыми (с виду), а на поверку становятся катализаторами чисто теоретических исследований, над которыми, подчас безрезультатно, современные математики бьются десятилетиями.
В качестве примера можно указать на числа - константы Д. Капрекара, на процедуру цифросложения Капрекара и на удивительные золотые ряды Фибоначчи, порождаемые … очень простым алгоритмом: реккурентной процедурой последовательного числосложения.
Числонавтика же – есть главный поставщик новых идей, для всех отраслей современной математики…
-----ХХХ-----
А ныне, как известно, это целая отрасль новой, бурно развивающейся «Математики Гармонии» Идет двадцать первый век. Кажется, что уже все, казалось бы, открыто и переоткрыто.
Особенно в такой сложной области знаний, как Теория Чисел...
Тем не менее, в ней, правда, очень редко, но можно отыскать "алмаз".
Журнал «Наука и жизнь», давно уже, писал об "игре в номера", которую придумал академик Л. Д. Ландау (см. "Наука и жизнь" №№ 4, 10, 2000 г.; №№ 1, 6, 12, 2001 г.).
Там предлагалось расставить арифметические знаки между цифрами четырехзначных автомобильных номеров так, чтобы из двух пары чисел получилось верное равенство (см. Рис.1). .
Рис.1
Юрий Валентинович Соколов (к. ф-м. н, Обнинск) придумал свою (интересную) математическую манипуляцию с цифрами и… сформулировал на её основе новую теорему из области теории чисел.
Расскажу о своей находке.
В конце двадцатого века многие "играли в числа", по номерам государственной регистрации автомашин. Тогда эти номера были четырехзначными.
Номера автомашин разделялись, как известно (как и номера трамвайных билетов) на «счастливые» и остальные … не особенно счастливые.
В частности (Рис.2), числа, у которых сумма цифр, стоящих на четных местах, равнялась сумме цифр, стоящих на нечетных местах, считались «счастливыми».
Рис.2
Известно, что все «счастливые» номера делятся на «11».
Была и другая система вычисления счастливых номеров.
В ней нужно было обнаружить присутствие числа «11».
В частности, было известно, что на одиннадцать делятся такие номера, у которых разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, делится без остатка на одиннадцать (см.Рис.3, ниже).
Рис.3
NB! Обращаю внимание читателей, что пока у нас речь идет о представлении чисел только в десятичной системе счисления.
Автоматически сортируя номера автомашин; на те, которые делятся и на те, которые не делятся на одиннадцать, автор вдруг неожиданно заметил, что числа, которые делятся на 11, все без исключения, обладают ещё одним забавным свойством:
После ряда несложных операций (числовых манипуляций) они сводятся к двузначным числам, которые состоят из … одинаковых цифр.
После каких же манипуляций?
Сначала (см. Рис.3) нужно разбить число справа налево на двухразрядные числа. Сложив их, получим некоторую сумму.
Если разрядность суммы больше двух, нужно повторить первую и вторую операции.
И тогда, если число делится на 11, в результате обязательно получится двузначное число, состоящее из одних и тех же цифр.
Рассмотрим, например, число 2574 (см. Рис.4). Разбиваем его на 74 и 25. Сложив эти числа, получим 99, которое делится на число «11».
Рис.4
Или возьмем другое число – 9581 (Рис.5).
Разбиваем его на 81 и 95. Сложив их, получим 176. Число 176 снова разбиваем, теперь на числа 76 и 1; сложив их, получаем 77. Оба рассмотренных выше числа - 2574 и 9581 - делятся на 11.
Рис.5
После некоторых размышлений автор пришел к выводу, что этим свойством обладают все числа, которые имеют делители, состоящие из одних единиц.
И, что еще более интересно, что такое свойство присуще
любому способу представления чисел.
В любой системе счисления все числа, делящиеся без остатка на «n» - разрядные делители, состоящие из одних единиц, приводятся к «n» -разрядным числам, состоящим из одинаковых цифр.
К слову, отмечу сразу, что признак делимости для произвольного делимого и делителя, состоящего лишь из одних единиц, в произвольной системе счисления доказать мне пока не удалось.
Однако, теорема о произведении доказывается
достаточно просто.
Сформулируем и докажем ее.
Для любой системы представления чисел имеет место теорема:
Если умножить некоторое «n»-разрядное число,
состоящее из одних единиц, на любое целое число N,
то полученное произведение можно привести
к «n» - разрядному числу,
состоящему из одних и тех же цифр.
Для этого нужно проделать следующее:
1. Разбить произведение справа налево по разрядности «n».
2. Сложив части числа и получить некоторую сумму.
3. Если разрядность суммы больше «n», то для нее (как для произведения) повторить операции 1 и 2.
4. Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет равной «n».
ПРИМЕРЫ:
Сначала для ясности рассмотрим численные примеры в десятичной системе счисления (Рис.6).
Умножив, например, 111 на 9876, получим 1 096 236.
Разбиваем 1 096 236 на трехразрядные числа.
Имеем числа 236, 096 и 1.
Сложив их, получим число 333.
Рис.6
Еще один пример (Рис.7):
Если число 111 умножить на 89 876, то получим 9 976 236.
Разбиваем 9 976 236 на трехразрядные числа.
Имеем числа 236, 976 и 9.
Сложив их, получим 1221.
Разбиваем 1221 на трехразрядные числа.
Имеем 221 и 1. Сложив их, получим 222.
Рис.7
Доказательство:
Теорема доказывается методом математической индукции.
Для случая N=1, очевидно, теорема верна. Допустим, что она справедлива для N=K.
Это значит, что произведение n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К с помощью операций 1, 2 и 3 приводится к «n» -разрядному числу, состоящему из одних и тех же цифр.
Обозначим эти цифры буквой А.
Теперь умножим n-разрядное число, состоящее из одних единиц, на К+1. Умножить на К+1 означает, что к произведению n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К надо прибавить еще одно число, состоящее из одних единиц.
Прибавим к ранее полученному n-разрядному числу, состоящему из одинаковых цифр А, «n» - разрядное число, состоящее из одних единиц.
Рассмотрим два возможных результата.
Если А < 10 - 1, где 10 - основание системы счисления сомножителей, то получим n-разрядное число, состоящее из одних и тех же цифр А+1.
Если A = 10 - 1, после сложения получим (n+1)-разрядное число, состоящее из «n» единиц и «0» (нуля) в первом разряде.
Тогда с помощью операции 3 оно приводится к n-разрядному числу, состоящему из одних единиц.
Таким образом, теорема доказана для любого N.
Следствием теоремы является признак делимости на числа, состоящие из одних единиц.
Чтобы убедиться в том, что некоторое число (делимое) делится без остатка на делитель, состоящий из одних единиц, достаточно, не производя деления, проделать следующее:
1. Разбить делимое справа налево на числа, разрядность которых равна разрядности делителя.
2. Сложив эти числа, получим некоторую сумму.
3.Если сумма имеет разрядность больше, чем разрядность делителя, то для нее, как для делимого, повторить операции 1 и 2.
4. Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет равной или меньшей разрядности делителя.
Если сумма имеет разрядность делителя и состоит из одинаковых цифр, то делимое делится на делитель без остатка. Во всех остальных случаях - не делится.
Этот признак делимости не зависит от системы счисления.
При этом для случая представления чисел в двоичной системе пункт 4 звучит значительно проще:
Делимое делится на делитель без остатка, если в результате операций 1, 2 и 3 делимое приводится к делителю. В противном случае - не делится.
В качестве примера рассмотрим два числа в десятичной системе счисления: 777 и 7770, которые делятся на 3 и на 7.
Эти числа в двоичной системе имеют вид 1 100 001 001 и 1 111 001 011 010 соответственно.
Рис.8
Эти числа с помощью операций 1, 2 и 3 они приводятся к 11 и 111 и, следовательно, делятся без остатка на 11 и 111, то есть делятся на три и семь.
Кроме того (см. Рис.8), число 7770 делится также на 15, а следовательно, в двоичной системе, приводится к 1111.
