Всему миру известны две главные мировые величины π и e. Весьма распространенные в науке и технике. И очень часто применяемые совместно.
При этом весьма странно, что между ними лежит огромный разрыв во времени их открытия. То есть «сошлись» они весьма недавно.
Первое определение числа π [1] было у Архимеда (287-212 гг. до н.э.), т.е. задолго до появления Христа. А приближения к π употреблялись еще в Междуречье (2 тыс. лет до н.э.).
Число же e стало известно только в 17-м веке, благодаря использованию его Л.Эйлером (1727г). И это притом, что числа π и e весьма тесно связаны.
В этом аспекте тесная связь π и eоткрывающаяся благодарявыдающейся находке С.С. Ершова [2,с.125-223], - весьма показательна.
Парадокс заключается в том. что «круговой», периодической константе π наследуется апериодическаяe=2,71828… (рис.1) эвольвентная константа ...
Предисловие Ю.Г. Маланьина
В теории вероятностей указанные выше константы часто используются совместно. К примеру, в формуле для нормального распределения (к которому сводятся другие распределения). В [1] также приводится примерное равенство (точность порядка 4*10-6 ):
Или
где используются гармонические числа.
Существует большое множество других, аналогичных примеров.
Находка С.С. Ершова [2,с.125-223], как уже отмечалось, выявила, что «круговой», периодической константе πапериодическая эвольвентная константа e=2,71828… (рис.1) . наследуется
Рис.1 Функция eα , как круговая
На Рис.1 демонстрируется множество последовательных эвольвент единичной (R=1) окружности:
n=2, так называемая «эвольвента круга»;
n=3, эвольвента эвольвенты круга и т.д..
Длина прямоугольная ломанной, составленной по правилу «радиус кривизны – отрезок касательной (он же новый радиус кривизны)», при R=1 и α=x имеет, оказывается, значение ex, о чем свидетельствует ряд Маклорена:
При α=1(один радиан) и получается e1=e. Кстати, при α=0 имеем единичный горизонтальный отрезок (действительно, e0=1).
Итак, мы видим на рис.1 своеобразного паучка (жирные кривые), который развертывается, а может и свернуться – в точку (1,0).
Здесь можно усмотреть некий фильтр – как из отрезков эвольвент, так и из отрезков касательных (прямоугольная сеть).
Эзотерический смысл числовой находки С.С. Ершова.
Он состоит, в частности, в том, что …
… Такая аналогичная сеть (но, рыболовная) упоминается в Библии (в Новом Завете).
А полученный в данных исследованиях «Паук» – аналогичен другому пауку, одному из гигантских геоглифов на плато Наска (в Перу).
Вот вам и прямое пересечение с историей … .
Более того, вообще-то на прецессионной окружности оси Земли есть еще особая точка, связанная с обеими константами. Именно через эту точку мы и пройдем в дату Апокалипсиса … 21 декабря 2012 г.
-----ХХХ-----
Итак, в статье установлено, что бесконечное множество эвольвент точки (n = 1,2, ... ) задают своими длинами элементы ряда Маклорена для … функции Rеα.
При R = 1 прямоугольная ломаная (см. Рис. 1) или «пучок-паучок» отрезков эвольвент, включающий горизонтальный радиус (O1O на рис. 2), определяет собой экспоненциальную функцию еα.
Эта функция, как и само число e, оказывается, … уложены на окружности!
-----ХХХ-----
Точка зрения редакции (и экспертов) сайта Числонавтики может не совпадать с позицией и мнениями публикуемых авторов. Редакция оставляет за собой право на необходимые действия в отношении опубликованных ею материалов.
Редакционныйсовет
Аналогия (греч.) энциклопедически определяется крайне просто — как сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах.
Удивительный пример аналогии на множестве эвольвент связан с обнаружением "круговой" природы трансцендентного е = 2,71828... [1, с. 4-5].
Давно известно, другое базовое число, π (Пи)— круговое, а круг (окружность), как известно, самая естественная математическая и физическая конструкция. «Эвольвента» (развертка) — это плоская кривая, для которой другая плоская кривая - «эволюта», является геометрическим местом ее радиусов кривизны.
Вообще-то для одной эволюты существует целое (бесконечное) семейство ее эвольвент. Получение же эвольвент можно представить в виде процесса … сматывания некоей нити с некой эволюты.
Конец этой нити и опишет траекторию — искомую эвольвенту. Нить же, очевидно, направлена всегда по касательной к эволюте (рис. 1).
На рис. 1 показано множество последовательных эвольвент этой окружности (n=2, так называемая "эвольвента круга"), эвольвента эвольвенты круга (n=3) и т.д.
Длина прямоугольной ломаной, составленной по правилу "радиус кривизны — отрезок касательной (он же — новый радиус кривизны)", при R = 1 и α = х имеет, оказывается, значение ех. При α = 1 (один радиан) и получается е.
Кстати, при любом α (даже и "многооборотном") ломаная сходится к началу всех эвольвент (n 1). Место ломаной может с успехом занять и пучок начальных участков эвольвент с присоединением к нему горизонтального радиуса R.
Получается своеобразный "паучок", также свертывающийся в начальную точку (R, 0).
Аналогия в этом примере, главным образом, проявляется на уровне n = 0 и 1: окружность является эвольвентой точки! Хотя, казалось бы, что здесь удивительного — центр окружности и есть геометрическое место всех ее радиусов кривизны (Rкрив = R = const).
Здесь, правда, принцип "сматывания нити" не очевиден. Надо еще вспомнить о семействе эвольвент, в частности и для точки (n = 0). Его элементы — концентрические окружности.
Вырожденный случай — сама точка. Она и эволюта, и эвольвента одновременно. А длина сматываемой "нити" не увеличивается, поскольку, на точке "уложенная", эта нить имеет нулевую длину!
Итак, в паре кривых эволюта-эвольвента первая представляет собою геометрическое место центров кривизны второй, а вторая, стало быть, тоже геометрическое место — концов отрезков касательных к первой, имеющих длину "пройденной" части этой первой.
Как уже отмечалось выше, здесь хорошо подходит механическая интерпретация "кривая — нить". Натянутая нить сматывается с кривой (эволюты), направлена всегда по касательной к этой кривой. Конец нити описывает то, что и называется эвольвентой (рис. 2).
С 17–18 вв. известно множество свойств эвольвенты круга (Гюйгенс, Лаир, Клеро). Например, уравнение в полярных координатах (ρ, φ):
Параметрические уравнения эвольвенты:
Эти уравнения получаются, в частности, из тривиальных
с использованием зависимостей
Первая следует из прямоугольного треугольника OAB (рис.2), где катет AB, являющийся отрезком касательной, равен пройденной дуге O1A окружности, т.е. равен αR: α2R2 + R2 = ρ2 и т.д. Вторая зависимость получается из полярного уравнения и первой зависимости.
Наконец, известно, что длина дуги эвольвенты O1B равнее Rα2 / 2, и.т.п.
Если следовать введенному ранее понятию порядка n эвольвенты (точка имеет нулевой порядок, базовая окружность – первый), то указанные выше x, y должны получить индекс 2. Далее потребуется также
Длина эвольвенты 12 определяется по ее первой производной:
При переходе к порядкам n ≥ 3 последовательно используется известные из дифференциальной геометрии параметрические уравнения (без постоянных) для эвольвенты любой кривой (эволюты), не обязательно окружности:
Получаем для n = 3:
Аналогично, для n = 4:
Изложенного выше, думается, достаточно для естественной гипотезы:
Доказательство этой гипотезы проводится обычным методом полной математической индукции.
Основание ее, n = 1 …4, уже построено (кстати, для n = 1, т.е. для окружности,
Трудности шага индукции обусловлены, главным образом, бесконечным наращиванием длины выражений для xn и yn.
Можно заметить, правда, что это наращивание ведется за счет дополнительных слагаемых прогнозируемого вида. Выражения для производных x nα, y nα не удлиняются с ростом n, в них только меняются знак (±) и функция (sin/cos). Используем вспомогательную функцию четности:́́́́
Теперь выражения для производных можно записать (пока гипотетически) так:
Здесь [ ] – функция взятия целой части, т.е. ближайшего наибольшего целого(ent).
В справедливости предложенных выражений для n = 1…4 легко убедиться непосредственной проверкой. При этом функция sin, cos чередуется обязательно (смена на каждом шаге). Знаки меняются вдвое реже.
Их циклическая последовательность для x :(–,+,+,–),…, для y : (+,+,–,–),… .
Дополнительная проверка:
Итак, делаем шаг n → n+1:
Последнее равенство, действительно, справедливо, поскольку при n четном и нечетном оба последних выражения тождественны. Индукция для y n+1,α выполняется аналогично:́́
Здесь нужно заметить, что знаки множителей
при четном n разные, а при нечетном – одинаковые.
Поскольку гипотетически выражения для
следует из выражений для
доказательство гипотезы (теоремы) в целом приходится признать законченным.
Установлено: бесконечное множество эвольвент точки (n = 1,2, ... ) задают своими длинами элементы ряда Маклорена для функции R еα. При R = 1 прямоугольная ломаная (рис. 1) или пучок-паучок отрезков эвольвент, включающий горизонтальный радиус (O1O на рис. 2), определяют экспоненциальную функцию еα. Эта функция, как и само число e, уложены на окружности!
Поскольку длины эвольвент разного порядка пропорциональны таким же степеням, эти эвольвенты могут быть использованы для моделирования линейных, квадратичных, кубичных, ... зависимостей и числовых последовательностей [2, с. 215-223].
