… «Когда я открыл эту формулу и заложил программу этой формулы в компьютер, то он стал воспроизводить на свет образы всевозможных прекраснейших творений природы» - написал бельгийский учёный Йохан Гилис.
Все это было слишком хорошо, чтобы быть правдой – и я потратил два года на размышления о том, не сделал ли я что-нибудь неправильно, и на уяснение вопроса о том, почему никто не сделал этого же до меня?
В конце концов, после бесед с математиками Гилис понял, что он действительно открыл нечто новое.
На протяжении столетий ученые стремились выразить формы природных объектов математически, но безуспешно. Открытие Йохана Гилиса поможет, наконец, разработать единый и относительно простой «математический каркас» для нужд анализа, моделирования и сопоставления форм природных объектов, что само по себе будет значительным шагом вперед.
Использование только одной формулы для построения разнообразнейших форм позволит значительно повысить эффективность графических пакетов и, вероятнее всего, найдет применение в распознавании образов и в анимационном кино...
Сразу хотим проинформировать наших читателей: в Интернете сведений, которые имеются в этой статье, вы не отыщете. Есть только непереведённая статья автора, которую искать пришлось довольно долго, а всё остальное - лишь многочисленные перепечатки одного единственного новостного сообщения об открытии Й. Гилеса.
Итак! Что же такое – «суперформула» Й. Гилеса?
Суперформула
«Суперформула» – это специальная модификация общеизвестного уравнения окружности:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (А)
Изменение первого числового параметра «h» уравнения (см. выше) меняет пропорции формы (соотношения сторон), трансформируя окружность к вытянутому эллипсу...
Изменение второй числовой переменной «k» меняет число осей симметрии фигуры – от круга к треугольнику, затем к квадрату, пятиугольнику и так далее.
Изменение обеих пропорций и симметрии одновременно способно породить фигуры с любым количеством сторон (как правильные, так и неправильные).
Кроме этого, становится возможным создавать и объемные структурные формы, а также воспроизводить формы объектов неживой природы, таких как, например, снежинки или кристаллы.
Всё это – ничто иное, как алгоритмизация процессов моделирования для широчайшего диапазона многообразных сложных объектов, спиралей и разного рода лепестков.
Но, главное в данном открытии, по словам самого Йохана Гилиса, это то, что теперь открылся новый способ числового описания и отображения объектов природы.
Он может стать универсальным и простым инструментом для анализа и сравнения (между собой) всех форм жизни.
Одновременно с этим возникает и другой, весьма важный философский вопрос: «А не пользуется ли такого рода формулой сама Природа»?
Йохан Гилис уверен, что время подтвердит глубину и ценность его «суперформулы».
Потому что, как он пишет, …" любым идеям о реальных связях между математикой и природой всегда предшествует … числовое описание этих связей ". Источники: Журнал ; и
Мартовский выпуск (2008 г) журнала «».
-----ХХХ-----
Наш перевод
авторской статьи Йохана Гилиса
(на базе PROMT) представляется ниже.
ЖУРНАЛ АМЕРИКАНСКИХ БОТАНИКОВ [издание 90 рис. 2].
Для изучения форм растений и других живых организмов существует несколько математических инструментов, большинство которых общедоступно, однако, это такие инструменты, в которых не учитывается специфическая и ценная биологическая информация.
В этом сообщении я представляю новый геометрический подход, предназначенный для того, чтобы моделировать и постигать различные абстрактные, естественные и искусственные формы.
Начиная с понятия простой окружности, я показываю, что большое разнообразие форм может быть описано одним единственным и весьма простым числовым уравнением, а именно тем, которое я называю «суперформулой».
Модификация параметров уравнения окружности (А), оказывается, может формировать целые поколения различных естественных многоугольников.
Так, например, приведение уравнения окружности к логарифмическим или тригонометрическим функциям изменяет метрику этих функций и всех графиков, порождаемых такими функциями.
Как обобщающая все эти формы, структура «суперформулы» (в своей внутренней метрике), по-прежнему остаётся окружностью и обеспечивает точное математическое соотношение между евклидовыми измерениями и внутренними измерениями, которые являются уже неевклидовой метрикой форм.
Прорыв за пределы Евклидовых окружностей и Пифагоровых мер демонстрирует нам возможности создания нового и мощного способа изучения естественных форм и явлений.
Ключевые слова статьи: моделирование; «суперформула»;
Разнообразие форм растений и других организмов интриговало исследователей природы в течение очень длительного периода времени.
Молекулярные процессы, лежащие в основе морфогенеза сегодня расшифровываются со всё увеличивающимся успехом.
Поэтому понимание биофизических процессов и математических правил, лежащих в основе морфогенеза и морфологии имеет сегодня приоритетное значение.
И началось это, в значительной степени, с исследований по незавершённым процессам, с изучения правил, которые обеспечивают взаимодействие между генами и формообразованием организмов (Гринов, 1999).
Сферические, круглые (циркулярные) и цилиндрические формы особенно часто наблюдаются в природе (см. D’Arcy Томпсон, 1917; Тележник, 1988).
Более сложные, комплексные формы, в биологии живых объектов также могут быть проанализированы через числовые параметры уравнений кругов (окружностей) или через параметры эллиптического анализа Фурье (Kuhl и Giardina, 1982; Kincaid и Шнейдер, 1983).
Есть и другие новейшие методы описания естественных форм и образцов, основанные на алгоритмах, которые могут моделировать (виртуально) реальные процессы формообразования растений (см. Prusinkiewicz и Lindenmayer, 1989; Prusinkiewicz, 1998).
В частности, это динамическое моделирование (типа копирования) роста раковин (Meinhardt, 1998) или модель морфогенеза завитушек морских водорослей (Dumais и Харрисон, 2000),
Все эти методы доказывают, что подход к моделированию формообразования должен быть алгоритмическим.
С развитием компьютерной технологий модели становятся все более сложными и более изощрёнными для того, чтобы отображать тонкости роста живых организмов, как в целом, так и по частям.
Методы такого рода визуализации для биологических организмов (или органов) могут быть реализованы в пределах достаточно широкого диапазона разных алгоритмов и методов.
Например, метод геометрической морфометрии стал быстро расширяющейся областью исследований в биологии (Иенсен, 1990; Bookstein, 1996; Rohlf, 1996). Однако в растениях изменчивость форм может быть слишком большой, даже в пределах одной единственной разновидности или растений одного рода.
Это должно быть подчёркнуто, поскольку, несмотря на то, что алгоритмы могут привести к достаточно похожим на действительность виртуальным моделям формообразования растений, всё же невозможно найти такие алгоритмы, который описывали бы реальное растение совершенно точно (Ван Ойстаеиен и др., 1996).
В данной статье я представляю иной геометрический подход, который уточняет и раскрывает первую мою публикацию от 22 января 2002; и вторую редакцию статьи - от 22 октября 2002.
Данную работу я посвящаю моим родителям.
Мои благодарности я отсылаю также Тому Джератсу и Берту Беиринкксу за их замечания по работе и за их поддержку.
В 2-х моих сообщениях по эл.почте (от Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript ) содержится описание большого резюме, где описаны естественно встречающиеся и искусственно формируемые геометрические формы, объединённые удивительной и единственной, порождающей их простой формулой.
Ниже я покажу, что много геометрических форм и в природе и в культурной жизни могут быть интерпретированы исключительно лишь через переменные, числовые параметры формулы окружности (1).
В самом общем виде я буду именовать такие формы понятием (словом) «суперформы».
Они оказываются полезными не только для моделирования, но позволяют также расширить наше понимание в вопросе о том, почему определенные формы растут и как они это делают.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Окружность и квадрат, эллипс и прямоугольник - все это элементы множества суперэллипсов (Loria, 1910; Gridgeman, 1970) определенные формулой:
(1)
Главное неудобство таких суперэллипсов - это их ограничения в отношении симметрии.
Использование полярных координат r = f (ф), занимая место x = rх cos ф и y = r х sin ф, и введение аргумента m/4 угла ф позволяет исследователю самому задавать определенные осевые симметрии.
Показатели степени n, при этом, тоже могут задаваться.
Модификации приводят к уравнению (2), где “n” и
(для положительных вещественных чисел) и где
(для положительных вещественных чисел, не равных нулю).
(2)
Тогда для n1 = n2 = n3 = 2 и m = 4 в ур-нии (2) мы получаем эллипс.
Окружность будет получена, когда дополнительно мы введём a = b, которые также могут быть введены в уравнение (1).
И теперь, вместо того, чтобы делить эвклидову плоскость на только четыре сектора (или только на квадранты), как это предписывается в уравнении (1) и что является главным недостатком суперэллипсов, теперь плоскость может быть разделена уже на множество секторов, равных m согласно уравнению (2).
Поэтому суперокружности (1) и их абсолютные значения получают возможность для дублирование (копирование) в графике, отображаемом уже не только в интервале первого сектора (0 –2p/m), но и во всех (m) последующих секторах.
Асимметричные формы также могут быть воспроизведены, путём выбора разных значений параметра в разных секторах. Например, n = 2 в первом и втором квадранте, n = 2.54 в третьем, а n = 1.989 в четвертом квадранте уравнения (1).
Уравнение (2) изменяет метрику функций и всех порождаемых этой функцией графиков.
Местоположение, только что описанное выше, можно рассматривать как модификацию постоянной функции R = 1 (деформация единичной окружности), но и другие функции f (ф) могут быть использованы аналогично.
Когда осуществляется объединение с другими функциями, то вся «суперформула» изменяет метрику этих функций, а также всех порождаемых ею графиков /см.(3)/.
(j-k) Измененный Rose curves Icos (m,ф)I с m=2.5 вписанный в многоугольниках со значениями m; n1; n2=n3,
(j) 2.5; 1/1.3; 2.7,
(k) 2.5; 5; 5.
(l) супер и субкосинусы: функции косинуса Icos(m,ф)I при m=2.5, вписанный в многоугольник со значениями (m; n1 n2= n3)
(4; 1; 1), суперкосинусы, сплошная линия и (4; 25; 25),
(3)
Этих родовые (общие) уравнения воспроизводят большой класс «суперформ» и формируют (см.рис. 1) фигуры, включающие супер и субкруги, как частные случаи.
Поэтому я предлагаю дать название «суперформула» именно числовому уравнению (3) основанному на понятиях суперокружностей, суперэллипсов и суперквадратов.
Уравнения (2) и (3) могут быть также обобщены на случай с более чем двумя измерениями, т.е. простираться на два, три - и более измерений пространства.
Двумерные пространственные формы альтернативно могут быть описаны и через многомерные R6 пространства. А конкретно - через параметры с различными значениями (a, b, n1, n2, n3, m).
Уравнение (2) – есть конверсионная формула между внутренней метрикой форм и нашей классической Евклидовой плоскостью (или пространством).
Учитывая форму, параметры формулы могут быть получены и путём реализации ограниченного числа измерений.
Для симметрических форм a=b и n1=n2=n3 как в Табл.1, столбцы 2 и 4), двух измерений будет вполне достаточно.
Одно в 00 или 2p/m (расстояние R от происхождения или средней точки, чтобы сформировать фигуру) и одно в p/m (расстояние S от происхождения или средней точки, чтобы сформировать фигуру). Для этого используется уравнение (4), которое получено через решение уравнения (2) для n (a=b и n1=n2=n3 для фиксированных углов).
Также, кроме k x 2p/m or k x p/m , могут использоваться, но R и S, вообще говоря, это - минимальное и максимальное расстояния:
(4)
Если значения параметров будут отличаться (Табл.1, столбцы 3, 5, и 6), то дополнительные измерения породят больше уравнений, которые нам потребуется решать.
Но и тогда нужные параметры могут быть найдены на основе методов, которые подобны методам оценки функции наибольшего правдоподобия, либо на основе нелинейных алгоритмов оптимизации, которые, однако, уже выходят за рамки этой статьи.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Целое и нецелое число вращательных симметрий - переменные параметры m /см. уравнение (2)/, которые могут определить ноль (m=0), для одноугольника (m=1) и диагонали (m=2). Так же, как треугольники, квадраты и многоугольники с большим количеством высоких осевых симметрий.
Аргумент m позволяет ортогональным линиям «сворачиваться» (закрываться) и он же определяет число точек, закрепленных на единичной окружности (или на эллипсе, где a не равно b) и на их интервале.
Они указывают на то, что всегда останется зафиксированным. Значения n2и n3 определяют, вписана ли наша форма или ограничена в пределах единичной окружности.
Для n2 = n3 < 2 , форма вписана (получим подмногоугольники), в то время как для n2 = n3 >2 форма сама ограничивает окружность (получим супермногоугольники).
Окружность определена или через ноль или через нулевой угол для любого значения n, данного m=0, либо она определена для любой осевой симметрии m данного через n2,3 =2. Величина n1 далее окончательно определит форму.
Март 2003 GIELIS-A
ОБОБЩЁННОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТАБЛИЦА 1. Примеры различных абстрактных форм.
Модификации параметров уравнения (2)
для положительных осевых симметрий
целого параметра m (от 0 до 8 для R = 1).
Углы получаемых фигур легко могут быть обострены или сглажены, а стороны могут быть прямыми, либо наклонными (выпуклыми или вогнутыми) как это показано на примерах в Табл.1.
Подмногоугольники вписаны в окружности (Табл.1, столбцы 2 и 4) и могут вращаться p/m относительно супермногоугольников, ограничивая при этом свою окружность (Табл.1, столбцы 3 и 5).
Интересно, что когда подмногоугольники преобразуются в супермногоугольники (или наоборот), то происходит превращение углов в стороны, а сторон - в углы, что проистекает из-за наличия неподвижных точек на единичной окружности.
Одинаковые формы произведены так, что они становятся близки после одного вращения (0, 2, 2p), когда мы выбираем ноль или положительное целое число для m. Точно такая же форма может быть воспроизведена для каждого последующего вращения 2з.
Это происходит каждый раз, когда применены изменения уравнения (2), например, при изменении отношение n2/n3 (Табл.1, столбец 6) или при изменении величин a и b, которые отличаются друг от друга (Табл.1, столбец 7).
Кроме того, когда m фиксированное, но не целое число, тогда воспроизведенная форма не закрывается после одного вращения.
Если m будет рациональным числом, то форма закроется после множества вращений, равных знаменателю m. При этом числитель m определит число углов.
Например, для m = 5/2, форма «согласится» отображаться с пятью углами только после двух вращений и будет тогда иметь 5/2 или 2,5 угла на одно вращение (Рис. 2).
Эта форма будет снова повторяться каждые 4p. Однако, при использовании иррациональных чисел никакого эталона повторения не будет.
Понятие двугранной симметрии (как это определено для правильных многоугольников– см. Вейлевский, 1952;) обозначенной как Dn и определенной для целого числа в уравнениях (2) и (3), может быть таким образом расширено так, чтобы включать циклический Cn и двугранный угол Dn симметрии для любого вещественного числа в плоскости с m (рационального или иррационального).
Поскольку все эти формы описаны одним и тем же уравнением, численные расчеты (типа области и полярного момента инерции Ip) для этого большого класса форм могут быть выполнены посредством интегрирования одного единственного уравнения.
Это обеспечивает реализацию вычислений по оптимизации области или моментов инерции.
Например, когда окружность развивается в суперокружность, умеренное увеличение области быстро приводит к большому увеличению Ip.
Очень важное следствие состоит в том, что указанная выше область является постоянной для каждой данной формы, определенной показателями степени n, независимо от значения параметра m.
Области форм, показанных в Табл.1, см. столбцы 2, 4, и 5, например, постоянны для m = 0. Поскольку симметрия вообще определяется в геометрии как преобразование, которое оставляет определенное количество (здесь - область) в роли инварианта, то симметрия здесь – определяется величиной m (для m = 0).
Примеры естественных Форм-A широкий диапазон изменения и замечательное разнообразие форм всюду (по различным классам фигур) может быть смоделировано с помощью нашей «суперформулы» (Gielis, 1999, 2001).
На Pис.1 даны примеры, которые показывают примеры естественных суперформ или супермногоугольников - типа треугольных форм в petiole Nuphar luteum или в морских диатомовых водорослях, как например, в Pseudotriceratium, Sheshukovia, Triceratium, и Trigonium (Рис.1a).
Другие диатомовые водоросли
Многоугольники симметрии нецелого числа;
Верхние чашелистики и плоды carambola (m = 5/2).
Вершина, n = 0.5.
Основание, n = 0.4. как Stictodiscus четырехугольны или pentangular или может иметь различные симметрии (Вокруг и др., 1991).
Суперциркулярные стебли (их называют четырёхугольным или квадратным, рис. 1b), встречаются в большом ассортименте у растений, типа Silphium perfoliatum (Asteraceae), Вербена bonariensis, в Lamiaceae, Tibouchina (Melastomataceae), Scrophularia nodosa (Scrophulariaceae), разновидности Galium (Rubiaceae), Buddleja davidii (Buddlejaceae), Chimonobambusa quadrangularis (Poaceae; McGowan, 1889), а также в молодых стеблях и ветвях Tectona grandis (Verbenaceae).
А, кроме того, в succulents, типа Молочая Испания (Euphorbiaceae), Cissus quadrangula, и C. cactiformis (Vitaceae) и разновидности Orbea, Stapelia, Frerea, и Huernia (Asclepiadaceae).
Ломонос из штата Монтана (Ranunculaceae) и стебли Impatiens glandulifera (Balsaminaceae) имеют шестиугольную симметрию.
Растительные стебли хвоща, могут быть семиугольными (Рис.1c), в то время как более толстые плодородные стебли могут иметь симметрию лучей до 14 штук.
Стебли малин (Rubus sulcatus и R. phyllostachys) и кактусов как Stenocereus thurberi, S. gummosus, и Lophocereus schotti (Molina-Freaner и др., 1998) являются шестиугольными, либо пятиугольными (Рис.1в).
Суперкруглые формы также часто наблюдаются на анатомическом уровне, например, в квадратном или прямоугольном tracheids в сосновом лесу.
В бамбуке culms, продольные разделы имеют длинные и короткие ячейки паренхимы, напоминающие груды суперэллиптических стандартных блоков (Liese, 1998; Takenouchi, 1931).
Ячейки в родах коричневых морских водорослей, принадлежащих Dictyotaceae (Dictyotales: Phaeophyta) как Zonaria, Exallosorus, Homoeostrichus, и Lobophora могут быть легко отображаться образами с прямоугольной формой соответствующих ячеек (клеток).
Другие примеры многоугольных размещений (на микроскопическом уровне) были найдены в развивающемся цветке primordia actinomorphic цветов.
В Trimerous - пятиугольные и четырехугольные цветы могут быть найдены у растений разного рода. Примеры осевых симметрий величины нецелого числа найдены у растения phyllotaxy (Рис. 2).
Англы 2,5 лет с m = 5/2 имеют пять углов в двух вращениях, что наблюдается в их чашелистиках, авналогичное проявилось (см. Рис. 2) и в поперечных сечениях Averrhoa carambola (см. плод звезды на Рис. 2). В углах обособленно остаются сектора в 1440 и такие формы «закрываются» только после двух актов вращения фигуры.
Англы с параметрами 5/1 (это пятиугольные формы с m = 5/1 и целыми рациональными числами) имеют пять углов в одном вращении на 3600 и обособленные промежутки по 720.
В то время как пентаграммы с естественными 5/2 углами поверхностно разделяют одну и ту же осевую симметрию, у D5 с пятиугольниками (Вейлевский, 1952) их общая симметрия - нецелое число.
Интересно отметить, что образы на базе уравнения (2) выписываются и при небольших отклонениях числовых параметров углов, типа 5/2.1, что тоже приводит образ к фигуре с пятью углами, но немного позже, чем после двух вращений. Число осевой симметрии m определяет собой точный интервал углов.
Морская звезда, раковины, цветы, и обобщенные формы Фурье серис-Симилара могут наблюдаться и у животных. Когда происходит внутреннее сворачивание сторон пятиугольников, то мы явно получаем формы морских звёзд (см. Рис.1e и 1f).
После начальной личиночной стадии с двусторонней и левой/правой симметрией, морская звезда (Asteroidea) развивается во взрослую особь уже с радиальной симметрией (Lowe и Wray, 1997).
Радиальная симметрия – это специфическая особенность различных иглокожих. Логарифмические спирали широко встречаются в природе, например, у phyllotaxy растений (Жан, 1994) или у раковин моллюсков, с Nautilus, как классический пример (D’Arcy Томпсон, 1917).
Другие превосходные примеры могут быть зафиксированы в других раковинах, типа Architectonica perspectiva (Architectonicidae) и улиток, типа известного Мануса гринов papuina (Papustyla pulcherrima).
Но, в отличие от Nautilus и различных улиток, многие раковины – это не простые логарифмические спирали, как это замечено у varices. Встречаются раковины с четырехугольными и непараллельными сторонами (четырехугольник с непараллельными сторонами Pleuroploca, рис. 1h), Cymbiola imperialis, разновидности Strombus, и раковины murexes.
У последних логарифмическая спираль вписана в многоугольник, определенный уравнением (2). Другой подобный пример - квадратная логарифмическая спираль (Рис.1g) или спираль Архимеда, там спирали вписаны в шестиугольник (Рис. i).
Вписанная в треугольник логарифмическая спираль моделирует треугольную намотку, как это наблюдается у различных ammonoids.
Треугольная намотка встретилась нам по крайней мере три раза при извлечении корня ammonoids, в родах, типа Soliclymenia, Kamptoclymenia, Trigonoshumardites, и Trigonogastrioceras.
Другие рода имеют четырехугольную или треугольную намотку на ранних стадиях своего развития (Becker, 2000).
Тригонометрические функции также могут быть изменены уравнениями (2) и (3), как это показано на двух графиках построенных в полярных координатах (см. Рис. j-k) или как это дано в представлении волны (см. Рис.1д).
Закономерные отношения между формами цветов и такими тригонометрическими функциями, как синус и косинус, было впервые обнаружено монахом Грандасом в 17-ом столетии (D’Arcy Томпсон, 1917).
Это отношение не удивительно, потому что в полярных координатах функции косинуса и синуса определяют собой окружности с их центрами (на получаемой нами форме) непосредственно.
Вписывание цветов в супермногоугольники позволяет моделировать различные цветы с радиальной симметрией и опыты показами нам, как эффективно и просто лепестки могут быть «упакованы» в ограниченные области (Рис.1о-л).
Действительно, когда мы сравниваем область лепестков Герани с областью основных форм супермногоугольников, то обнаруживаем, что используемая область больше на 90 %.
"Квадратные" модели форм можно увидеть в чашелистиках различных разновидностей Гортензии и в рекламных листках водного папоротника, Marsilea quadrifolia (Marsilaceae).
Ещё одна интереснейшая возможность, предоставляемая суперформулой.
Иллюстрация 1l показывает нам, как может быть определен обобщенный ряд Фурье, в котором любой компонент ряда Фурье может быть «сжат» посредством уравнения (2).
Вообще говоря, все формы в Табл.1, Figs. 1, 2, 3a-f, и 4 могут быть описаны постоянными обобщенными компонентами Фурье, которые далее могут быть «сжаты» посредством уравнения) (2).
Аналогично, и подкосинусы (см. Рис.2k-l) могут быть описаны лишь через один косинус компонента Фурье. И, как прямое следствие этого, каждая из указанных форм может быть описана конечным рядом, вместо того, чтобы вычислять здесь приближения бесконечного ряда тригонометрических элементов, как это делается в классическом ряду Фурье.
Увеличивая степени свободы, можно начать думать о нашей «суперформуле», как о преобразователе, который позволяет сворачивать или разворачивать систему ортогональных координатных осей!
Это создает основную симметрию и метрику, где расстояния могут далее быть искажены местными или глобальными преобразованиями. Такие дополнительные преобразования значительно увеличивают «пластичность» и потенциальную «изменчивость» всех основных «суперформ».
Степени свободы «суперформ», определенных уравнением (2), могут быть увеличены различными методами, типа метода параметризации уравнения или же путём использования методов теории вероятностей. Комбинируя, например, уравнение (2) и Теорию Образца (Grenander, 1993) мы спокойно захватываем т.н. «случайные» изменения форм в природных объектах (вероятностным методом).
В такой мощной комбинации формы, определенные уравнениями (2) и (3), будут служить в роли «нечётких» шаблонов Id. Эти формы могут также использоваться и для геометрических измерений в морфометрии, чтобы сравнивать естественные формы, основанные на контурах.
Так как такие модели сохраняют симметрию, которая легко соблюдается при любом исследовании природы, подход, основанный на таких новых знаниях может быть применён и в системах по распознаванию изображений естественных объектов.
Уравнение (2) даёт большие возможности и в компьютерных приложениях. Для того, чтобы описывать растения и формы естественных объектов в трех измерениях, либо для того, чтобы расширить возможности применения суперквадриков, либо для создания образов т.н. «обобщенных цилиндрических моделей».
Как известно, сегодня использование суперквадрик основано на сферическом произведении двух двумерных «суперформ» (Барристер, 1981). Суперквадрики нашли широкое применение в компьютерном моделировании ландшафтных сцен, картин (Jacklic и др., 2000); также они используются для моделирования медицинских виртуальных образов сердца и человеческие тела.
Главный недостаток описанного метода суперквадрик и суперэллипсов – это их ограничения по отображению образов с большим числом осей симметрии.
Расширение понятия суперквадрик посредством уравнения (2) значительно увеличивает потенциал средств описания естественных форм, тем более, что в этом случае во внимание теперь будут приняты все симметрии.
Если, например, на сочном стебле взять 20 отрезков и для каждого отрезка сделать описание по параметрам - R, m, n1, n2, n3 , то целый стебель может быть тогда однозначным образом охарактеризован (в числах) набором всего лишь в 100 чисел.
Использование суперквадрик далее может быть расширено и возможностью введения дополнительных параметров для отображения различных местных и/или глобальных деформаций.
Такое расширение позволит моделировать гибкие «эталоны» для естественных и искусственных форм объектов Природы с любой степенью точности, хотя такие деформации и требуют большого множества параметров.
Глобальные деформации затрагивают суперквадрику в целом и это включает деформации типа сужения, изгибов, или любых иерархических комбинаций разных видов деформации.
Местные деформации могут быть описаны тоже по-разному (Jacklic и др., 2000). Увеличение степеней свободы в суперквадриках возможно реализовать посредством параметризации, включив для этого т.н. кривых Bezier, как функций в показателях степени суперквадратичных уравнений (Zhou и Kambhamettu, 1999) или же посредством смешения множественных моделей (DeCarlo и Metaxas, 1998).
Другие способы, позволяющие увеличивать степени свободы, включают в себя т.н. «гиперквадрики» (Hanson, 1988) и ratioquadrics (Blanc и Schlick, 1996).
Осуществимо и использование кривых Bezier, ибо функция показателя степени находится у нас в уравнении (2), что в итоге позволит осуществлять моделирование весьма и весьма асимметричных форм.
ОБСУЖДЕНИЕ
Обобщение уравнение эллипса [уравнение (1) в уравнение (2)] позволяет нам понимать математическую простоту и красоту многих естественных форм, отличающихся только значениям немночисленных параметров.
Уравнения (2) и (3) учитывают весьма большой диапазон (редукцию) сложности форм и этим обеспечивают новое понимание самой сущности симметрии, включая сюда варианты фигур с нецелым числом симметричности.
Здесь пока рассматривалось отображение только двумерных форм, но уравнения (2) и (3) могут быть легко расширены на новые, дополнительные пространственные измерения.
Учитывая экстраординарную корреляцию нового метода при моделировании и отображении с многообразнейшим количеством естественных форм, мы можем постулировать это обстоятельство и сделать ещё один важный вывод.
Выше (на множестве примеров) мы фактически продемонстрировали, что уравнения (2) и (3) выявляют некую элементарную геометрию, возможно имманентно присущую самой природе, где координатные оси в любом измерении могут либо сворачиваться, либо разворачиваться.
И это при том, что все расстояния между точками фигур по-прежнему определены у нас в системе числовых интервалов и в координатных осях классической декартовой (евклидовой) XY-системы или через тригонометрические функции.
Но, следует учесть, что уравнение (1) не только преобразует единичную окружность (Hersh, 1998) с метрическим параметрами.
Более широкое обобщение наших исследований состоит в том, что все формы и графики, определенные новой «суперформулой» - это окружности с метрически определенными параметрами (по уравнению (2) Gielis, 2001), которые в то же самое время обеспечивают ещё одну важную аналитическую связь.
А именно – важную связь между внутренней числовой метрикой создаваемых нами форм и классическими евклидовыми мерами расстояния.
«Суперформула», кроме сказанного выше, позволяет учитывать и небольшие модификации параметров. Например, мри моделировании роста стеблей растения. Поэтому возможно строить модели динамически изменяющихся форм (частей стебля) и по всему стеблю в целом, что даст исследователям мощный инструмент для изучения объектов природы.
Суперформула способна учитывать любую индивидуальную форму и получать наборы чисел (параметров) для отражения собственных параметрических особенностей. Таким способом, например, можно отличить индивидуальные диатомовые водоросли от растущих побегов стеблей кактусов.
Для каждой из этих индивидуальных форм, собственная область определения и другие присоединенные характеристики могут быть легко вычислены интегрированием.
Для всякого данного множества показателей степени в уравнении (1), собственная область числового определения остается инвариантной ко всем изменениям в симметрии m.
Ожидается, что в будущем станет возможно изучать распределения сил на растениях и живых органах модифицированным методом физического моделирования на базе т.н. «конечных элементов».
Определяемые через суперформулу числовые параметры форм объектов могут быть также интерпретироваться и как некие "атомарные" праформы, для которых более сложные формы могут быть построены путём усложняющейся комбинациями ряда параметров.
Полагая, что математический аппарат исследователей до появления «суперформулы» достаточно разработан и имеет широкую область применений (Gielis, 1999) в науке, я всё же думаю, что «суперформула» будет иметь свой собственный потенциал.
И этот потенциал послужит тому, чтобы изменить наше мышление, которым мы пользуемся, когда смотрим на симметрию и на любую форму. А это даст нам более глубокий уровень понимания Природы.
ПРОЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
BARR, A. H. 1981. Superquadrics and angle preserving transformations. IEEE Computer Graphics Applications 1: 11–23.
BECKER, T. R. 2000. Taxonomy, evolutionary history and distribution of the middle to late Fammenian Wocklumeria (Ammonoida, Clymeniida). Mitteilungen Museum fu¨r Naturkunde Berlin, Geow. Reihe 3: 27–75.
BLANC, C., AND C. SCHLICK. 1996. Ratioquadrics: an alternative method for superquadrics. Visual Computer 12(8): 420–428.
BOOKSTEIN, F. L. 1996. Biometrics, biomathematics and the morphometric synthesis. Bulletin of Mathematical Biology 58: 313–365.
D’ARCY THOMPSON, W. 1917. On growth and form. Cambridge University Press, Cambridge, UK.
DECARLO, D., AND D. METAXAS. 1998. Shape evolution with structural and topological changes using blending. IEEE Transactions on Pattern Recognition and Machine Intelligence, 20: 1186–1205.
DUMAIS, J., AND L. G. HARRISON. 2000. Whorl morphogenesis in the dasycladalean algae: the pattern formation viewpoint. Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 355: 281–305.
GIELIS, J. 1999. Methods and devices for synthesizing and analyzing patterns using a novel mathematical operator. USPTO patent application N8 60/133,279.
GIELIS, J. 2001. De uitvinding van de Cirkel. Geniaal, Antwerp, Belgium.
GREEN, P. B. 1999. Expression of pattern in plants: combining molecular and calculus-based biophysical paradigms. American Journal of Botany 86: 1059–1076.
GRENANDER, U. 1993. General pattern theory. Oxford University Press, Oxford, UK.
GRIDGEMAN, N. T. 1970. Lame´ ovals. Mathematical Gazette 54: 31.
HANSON, A. J. 1988. Hyperquadrics: solid deformable shapes with complex polyhedral bounds. Computer Vision, Graphics and Image Processing 44: 191–210.
HERSH, R. 1998. What is mathematics, really? Vintage, London, UK.
JACKLIC, A., A. LEONARDIS, AND F. SOLINA. 2000. Segmentation and recovery of superquadrics. Kluwer Academic, Dordrecht, Netherlands.
JEAN, R. V. 1994. Phyllotaxis: a systemic study in plant morphogenesis. Cambridge University Press, Cambridge, UK.
JENSEN, R. J. 1990. Detecting shape variation in oak leaf morphology: a comparison of rotational-fit methods. American Journal of Botany 77: 1279–1293.
KINCAID, D. T., AND R. B. SCHNEIDER. 1983. Quantification of leaf shape with a microcomputer and Fourier transform. Canadian Journal of Botany 61: 2333–2342.
KUHL, F. P., AND D. R. GIARDINA. 1982. Elliptic Fourier features of a closed contour. Computer Graphics and Image Processing 18: 236–258.
LIESE, W. 1998. The anatomy of bamboo culms. International Network for Bamboo and Rattan Technical Report 18, New Delhi, India.
LORIA, G. 1910. Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. B.G. Teubner, Leipzig-Berlin.
LOWE, C. J., AND G. A. WRAY. 1997. Radical alterations in the roles of homeobox genes during echinoderm evolution. Nature 389: 718–721.
MCGOWAN, D. J. 1889. Square bamboo. Nature 33: 560.
MCLELLAN, T. 1993. The roles of heterochrony and heteroblasty in the diversification of leaf shapes in Begonia dreigei (Begoniaceae). American Journal of Botany 80: 796–804.
MEINHARDT, H. 1998. The algorithmic beauty of sea shells. Springer Verlag, Berlin, Germany.
MOLINA-FREANER, F., C. TINOCO-OJANGUREN, AND K. J. NIKLAS. 1998. Stem biomechanics of three columnar cacti from the Sonoran desert. American Journal of Botany 85: 1082–1090.
PRUSINKIEWICZ, P. 1998. Modeling of spatial structure and development of plant: a review. Scientia Horticulturae 74: 113–149.
PRUSINKIEWICZ, P., AND A. LINDENMAYER. 1989. The algorithmic beauty of plants. Springer Verlag, Berlin, Germany.
ROHLF, F. J. 1996. Morphometric spaces, shape components and the effects of linear transformations. In L. F. Marcus et al. [eds.], Advances in morphometrics, 284: 117–129. Plenum, New York, New York, USA.
ROUND, F. E., R. M. CRAWFORD, AND D. G. MANN. 1991. Diatoms. Cambridge University Press, Cambridge, U.K.
TAKENOUCHI, Y. 1931. Systematisch-vergleichende Morphologie und Anatomie der Vegetationsorgane der japanischen Bambus-arten. Mem. Fac. Sci. Agr., Taihoku Imperial Univ., III: 1–60.
VAN OYSTAEYEN, F., J. GIELIS, AND R. CEULEMANS. 1996. Mathematical aspects of plant modeling. Scripta Botanica Belgica 13: 7–27.
WAINWRIGHT, S. A. 1988. Axis and circumference. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, USA.
WEYL, H. 1952. Symmetry. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, USA.
ZHOU, L., AND C. KAMBHAMETTU. 1999. Extending superquadrics with exponent functions. In: Proceedings 1999 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition II: 73–78.
(1)
(2)
(3)
(4)
