Числонавтика — Малые «зерна» Фибоначчи

Малые «зерна» Фибоначчи Автор Мартыненко Г. Я.    10.02.2009 г.

© Мартыненко Г. Я.

http://numbernautics.ru

Малые «зерна» Фибоначчи

 «Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи»

Мидхад Газале

 //От фараонов до фракталов//

Авторское название статьи; «Малые зерна Фибоначчи, взращенные на даче»

Вниманию читателя предлагается фрагментарный, не очень связный текст, посвященный последовательностям Фибоначчи.

Эпизоды этого текста родились в период моей острой увлеченности комбинаторными свойствами чисел Фибоначчи весной и летом 2008 г.

Тогда я, утомленный строительными работами, находил отдохновение в фибоначчиевых забавах.

С одной стороны я черпал в них вдохновение, необходимое для поддержания трудового ажиотажа, а с другой, наслаждался неисчерпаемой чередой свойств, отражающих внутреннее совершенство этих удивительных чисел.

Надеюсь, что свойства, зафиксированные в этих фрагментах, не совсем бесполезны, хотя, наверное, многие из них тривиальны или давным-давно известны.

Но дело сделано. Быть может, какой-нибудь из этих кирпичиков придется ко двору в математико-гармоническом строительстве…

Теорема Пифагора для параллельных

Последовательностей Фибоначчи-Люка

Перед нами - параллельные последовательности Фибоначчи и Люка. Возведем в квадрат каждое из двух контактирующих чисел Люка, а затем извлечем корень из суммы этих квадратов.

Результат:

Числа, очень напоминающие фибоначчиевы. Но это только на первый взгляд.

При внимательном разглядывании мы убеждаемся, что по мере возрастания ранга разность между числами эталонной последовательности и вычисленной псевдо-последовательности Фибоначчи все более возрастает.

Любопытно при этом, что эти разности в свою очередь образуют псевдо-по­следовательность Фибоначчи.

Рис.1

Процесс такого самоподобного клонирования на основе остаточного принципа может быть продолжен и далее.

Покажем это на примере одного числа с рангом 24 (последняя строка таблицы):

Рис.2

Отметим некоторые свойства этого дерева.

Разности между двумя номерами соседних уровней n этого дерева равны номеру второго, а в висячих левых узлах располагаются соответствующие числа Фибоначчи.

Сумма этих чисел плюс остаточное число дают исходное число, из которого началось ветвление.

Частное от деления большего из соседствующих чисел Фибоначчи на меньшее представляет собой числа Люка с номером делителя соответствующих чисел Фибоначчи.

Дальнодействие Люка

Речь идет о способности последовательности Люка далеко заглядывать вперед, т. е. о его прогностической силе.

Рис.3

Правило таково:

Ln х Ln+1 +1 = L2n+1 - для нечетного k

Ln х Ln+1 -1 = L2n+1 - для четного k

7х11 = 77 + 1 = 78

Например,

11х18 = (198 + 1) = 199

Предсказательная сила произведений Люка простирается весьма далеко.

Так, при п = 10 предсказывается 21-й член, равный 15127.

Для других последовательностей, включая классическую последовательность Фибоначчи, это свойство не выполняется.

Теорема Пифагора для скользящих пар

контактных чисел Фибоначчи

Рис.4

Попарные суммы скользящих чисел Фибоначчи образуют последовательности типа Фибоначчи с пропуском одного члена.

Попарные суммы второго порядка образуют ряд Люка с пропуском одного.

Далее образуются аналогичные последовательности Фибоначчи и Люка с кратностью 5: пятикратные, 25-кратные, 125-кратные и т. д.

По диагонали числа Люка и Фибоначчи переплетаются друг с другом, но тоже с пропуском одного члена.

Скользящая чехарда сумм

Рис.5

Во втором столбце суммируем 1+ 3=4, 2+ 5=7 и т. д. Затем увеличиваем интервал, но действуем так же.

В последней строке приведены имена классически последовательностей, а также обозначения неклассических типов, которые рассматриваются в статье (Мартыненко Г. Я. Пространственная типология последовательностей Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ. 14720, 19.02.2008. (2008а) ).

Рис.6

Восходящие непрерывные дроби

В теории математической гармонии много внимания уделяется непрерывным дробям. Все они имеют нисходящий характер. Предлагаю обратить внимание на одну симпатичную, но, скорее всего, бесполезную структуру:

Рис.7

Пусть a = 1, b = 2.

Тогда:

Рис.8

Рис.9

Милый пустяк

Рассмотрим целые числа повторных корней. Для суммативных подкоренных выражений имеем:

Рис.10

Если мы имеем дело с разностными подкоренными выражениями, то:

Рис.11

Рис.12

То же самое можно сказать и о повторных дробях.

Для них также можно ввести разностные непрерывные дроби.

Повторные радикалы Люка и Фибоначчи

Будем брать повторные корни, начиная с первого числа и скользить вдоль обеих последовательностей, на каждом шаге присоединяя по одному числу Люка или Фибоначчи, т. е. будем пользоваться вложенными «матрешечными» структурами вида:

Рис.13

Рис.14

Легко убедиться, что в образовавшихся последовательностях

Рис.15

Фибоначчи и тригонометрия

Обратиться к замечательной таблице братьев Цыпкиных (А.Г.Цыпкин, Г.Г.Цыпкин. Математические формулы. М.: Наука, 1985, с. 107).

Рис.16

Таблица изумительная.

Она буквально напичкана замечательными числами. Предел гармонии и изящества.

Что касается золотого сечения, то золота здесь больше, чем в закромах у Скупого рыцаря.

Обратимся для начала к отношению:

Рис.17

Если мы возьмем отношение синуса 54 градусов к синусу 18 градусов, то получим ф2.

В дополнение к тому, что Sin 180 градусов равен четверти золотого числа, а Sin 540 равен половине этого числа, все в совокупности очень мило звучит.

Похожая картина наблюдается для tg Х и ctg Х.

Вдохновляет также и то, что таблица буквально кишит стаховскими замечательными числами, не лишенных блеска благородных металлов

В общем, вся таблица оказывается довольно вместительным сундуком для поклонников «золотого тельца».

Но это еще не все.

Обратимся к Sin 360 и Sin 720 градусов. В формулах этих синусов присутствуют двойные повторные корни в суммативном и разностном вариантах.

При этом:

Рис.18

А отношение первого корня ко второму, как мы говорили выше, равно 1,618.

Теперь вычислим многократные повторные корни для этих чисел.

Получаем, соответственно, два сопряженных числа 2,791 и 1,791, произведение которых равно 5, а среднее геометрическое - корню из 5, т. е. 2,236.

Но, это число равно половине произведения двойных повторных корней.

Таким образом, мы связали двойные повторные корни с многократно-повторными, а также и с выражениями корней квадратного уравнения, ибо корень квадратного уравнения:

Рис.19

а корень квадратного уравнения

Рис.20

Обращает на себя внимание то, что в обоих уравнениях в роли свободного члена опять выступает замечательное число 5.

Золотые логарифмы Фибоначчи

Определим модули перехода от десятичных инуральных логарифмов к логарифмам по основанию золотого числа Ф = 1,618.

Пусть фх =10, тогда x*lg10 ф = lg10 = 1

Следовательно, модуль перехода от десятичных логарифмов к золотым будет равен:

Рис.21

Аналогичным образом может быть получен и модуль перехода от натуральных логарифмов к золотым.

Он оказался равным 2,0782.

В принципе может быть построена таблица золотых логарифмов и антилогарифмов.

Привожу иллюстративный фрагмент:

Рис.22

Поскольку последовательность Люка с хорошим приближением моделируется с помощью показательной функции вида L(n) = фn, то в логарифмической шкале эта функция превращается в арифметическую прогрессию, в пределе устремляющуюся к целочисленным значениям последовательности Люка.

Ниже приведены значения чисел Люка и их логарифмы.

Рис.23

Члены остальных последовательностей Фибоначчи умножаются (или делятся) на соответствующий коэффициент. Например, золотые логарифмы чисел Фибоначчи могут быть получены путем деления соответствующих чисел Люка на 1,382 (дополнение золотого числа до 3).

О двух элементарных связях

между последовательностями Фибоначчи и Люка

Суммативная связь

Не стоит никакого труда заметить, что последовательные суммы удвоеного и следующего за ним числа Фибоначчи образуют последовательность Люка:

Рис.24

Мультипликативная связь

Нетрудно    также    сообразить,    что    произведения    однопорядковых    чисел Фибоначчи и Люка образуют изящную последовательность, в которой

Рис.25

Рис.26

Например, для n=12 75026 составляет равно 46366, умноженному на 0,618, а отношении 75026 к 28656 равно 2,618.

Источник: Мартыненко Г.Я., «Малые зерна Фибоначчи, взращенные на даче» Последнее обновление ( 10.02.2009 г. )   © 2009 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"