Числонавтика — Таинственное число 6174

Таинственное число 6174 Автор Ютака Нишияма    30.11.2008 г.

http://numbernautics.ru

© Ютака Нишияма

(Yutaka Nishiyama), профессор

Таинственное число 6174

…Любой человек может раскрыть любую тайну

Число 6174 является действительно таинственным числом. На первый взгляд это может показаться не столь очевидным.

Но, поскольку, как мы сегодня видим, нет никого, кто может раскрыть тайну о том, что делает 6174 таким особенным, было предпринято моё исследование.

…. Что касается проблемы Капрекара вообще, то я подозреваю, что, как и Ямамото, Капрекар неведомым нам образом угадал (и знает) секрет своей удивительной головоломки.

…. Но, тем не менее, я хочу подчеркнуть тот факт, что до сих пор никто в мире не смог доказать, что все  цифры уникальных «ядер» для трех и четырехзначных чисел (495 и 6174) являются случайными. Скажу больше...

Свойство констант Капрекара представляется столь удивительным, что заставляет ожидать: за ними скрывается некая новая  Большая Теорема в теории чисел…

-----ХХХ-----

О процедуре Капрекара

В 1946 -1949 годах математик из Devlali, (Индия), разработал процесс, известный теперь как процедура Капрекара.

Первый шаг: выбрать четырёхзначное число, где не все цифры одинаковы (не числа 1111, 2222… и т.п.).

Второй шаг: изменить порядок цифр так, чтобы получить наибольшее и наименьшее число из имеющихся цифр нашего числа. Какое, какое только возможно.

И, наконец, вычесть наименьшее число из наибольшего, чтобы получить следующее новое число, а затем повторить всю описанную выше операцию для каждого нового числа.

Это простая операция, однако. Капрекар обнаружил, что она ведёт к удивительным результатам..

Давайте, опробуем эту процедуру, начиная с числа 2005 - числа прошлого года. Максимальное число, которое мы можем  сделать из этих цифра – это 5200, а минимальное - 0025 или 25

(Важно помнить, что если одна или несколько цифр равны нулю, то их обязательно надо встраивать их в левую часть нашего минимального числа).

В результате получаем такие разницы:

5200 - 0025 = 5175 5200 - 0025 = 5175 7551 - 1557 = 5994 7551 - 1557 = 5994 9954 - 4599 = 5355 9954 - 4599 = 5355 5553 - 3555 = 1998 5553 - 3555 = 1998 9981 - 1899 = 8082 9981 - 1899 = 8082 8820 - 0288 = 8532 8820 - 0288 = 8532 8532 - 2358 = 6174 8532 - 2358 = 6174 7641 - 1467 = 6174 7641 - 1467 = 6174

Как только мы достигнем числа 6174, операция повторяется, и каждый раз возвращается всё к тому же числу 6174. Назовём поэтому число 6174 ядром этой операции.

Итак, число 6174 - это ядро Капрекар – процедуры. Но, как получилось это число - 6174? Не ограничимся только констатацией того, что 6174 - ядро процедуры, а обратим внимание на еще один сюрприз.

Давайте попробуем еще один расчёт и начнём его с разных чисел, скажем с 1789 года.

9871 - 1789 = 8082 9871 - 1789 = 8082 8820 - 0288 = 8532 8820 - 0288 = 8532 8532 - 2358 = 6174 8532 - 2358 = 6174

Обратите внимание, мы достигли числа 6174 за три этапа!

Загадочное число ...

Когда мы считали первый раз (начиная с 2005), мы достигли константы 6174 за семь шагов, а во втором примере (для числа 1789) - за три шага.

Итак, получается, что мы можем достигнуть константы 6174 расчётами для всех четырехзначных чисел, но, оказывается, что не все комбинации цифр в анализируемых числах одинаковы.

И это удивительно, не так ли?

Процедура Капрекара необыкновенно проста, но какой интересный получается результат.

И всё это станет еще более интригующим, когда мы начнём думаем о причине того, почему же только четыре цифры чисел позволяют прийти к таинственному числу 6174.

Только 6174 ?

Цифры какого-либо четырехзначного числа могут быть предоставлены в виде максимального числа путем расстановки их в порядке убывания, а минимальное число получится в результате перестановки тех же цифр в порядке возрастания.

Для любых четырех цифр, B, C, D, можно записать:

9 ≥ А ≥ В ≥ С ≥ D ≥ 0 9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ 0

Где  A, B, C, D, не все цифры и максимальное число – ABCD, а  минимальное - DCBA.

Мы также можем вычислить результат процедуры Капрекара с использованием стандартного метода вычитания, применяемого для каждого столбца таблицы (см. ниже):

         A       B        C       D

        --         D       C       B      A

A         B       C       D

 Результаты дают отношения:

 для тех номеров, где A > B> C> D.

Число будет повторяться по алгоритму процедуры Капрекара, если в результате этого число ABCD может быть  написано с использованием первых четырех цифр, А, B, C и D.

Таким образом, мы можем найти ядра процедур Капрекара с учетом всех возможных комбинаций разрядных позиций (A, B, C, D) и проверить, удовлетворяют ли они отношениям, указанным  выше.

Каждый из 4! = 24 комбинаций даст нам систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, а поэтому мы должны быть в состоянии решить эту систему для A, B, C и D.

Примем во внимание, что по факту реального у нас получается, что только одна из этих комбинаций имеет целочисленное решение, которое удовлетворяет условию

9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ 0.

Этим сочетанием является  ABCD = bdac, а решением уравнения являются цифры = 7, B = 6, C = 4 и D = 1.

В итоге получим, что ABCD = 6174.

При этом нет никаких других решений уравнений, в результате которых иные цифры в цифровой структуре (A, B, C, D) находились бы равных условиях.

Поэтому (без изменений процедуры Капрекара) единственным расчётным числом  является только число 6174 - наше таинственное и уникальное число.

Для трёхзначных чисел имеет место аналогичная постоянная (константа) Капрекара.

Например, используя процедуру Капрекара для трёхзначных чисел, мы получим:

К примеру, для числа 753:

753 - 357 = 396 753 - 357 = 396 963 - 369 = 594 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495 954 - 459 = 495 954 - 459 = 495 954 - 459 = 495

Число 495 является уникальным ядром процедуры Капрекара для трёхзначных чисел, и все три цифры числа 495 можно получить с помощью всё той же операции.

Вы можете легко проверить это самостоятельно.

Как быстро числа «сходятся» к константе 6174?

Был примерно 1975 год, когда я впервые услышал о числе 6174 от друга, и я был тогда очень впечатлен этим.

Вначале я подумал, что смогу легко доказать, почему этот феномен существует и как это всё происходит, но … я не смог найти реальную причину этого математического феномена.

Я задействовал в своих исследованиях компьютер, чтобы проверить -  все ли четырехзначные числа достигают константы 6174 за ограниченное число шагов.

Программа (на Visual Basic), где было заложено около 50 заявлений, проверила все 8991 четырехзначных чисел (от 1000 до 9999), где не все цифры были одинаковы.

В таблице (см. ниже) приведены результаты расчётов: каждые 4-значный номер, где не все цифры одинаковы, достигает константы  6174 в большинстве случаев за семь шагов.

Если вы не дошли до 6174 за семь раз, то, значит, вы сделали ошибку в своих расчетах и должны пересчитать задание еще раз!

Табл.1

Какой способ 6174 ?

Наша компьютерная программа проверили все 8991 номеров, однако в г-н Малькольм объяснил нам, что чтобы проверить это достаточно только 30 (из всех возможных) четырехзначных чисел, использованных при изучении процедуры Капрекара.

Как и прежде, давайте предположим, что четыре цифры числа - это ABCD, где:

9 ≥ ABCD ≥ 0 . 9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ 0.

Давайте проанализируем в этом процессе «первое вычитание».

Максимальное число имеет вид:

1000A 100 B 10 C + D,

  а минимальное число – вид:

1000D 100 C 10 B + А

Операция вычитания заключается в следующем:

1000A + 100B + 10C + D - (1000d + 100C + + 10b) = 1000 (AD) + 100 (BC) + 10 (CB) + (DA) = 999 (AD) + 90 (БК)

Возможные значения цифр (в разрядах числа) составляет от 1 до 9, и (БЖД) составляется от 0 до 9.

Процедура Капрекара проводится  через все возможности, мы можем видеть все возможные результаты от первого вычитание в этом процессе.

Они показаны в таблице 2.

Табл.2

Рис.1

Таблица 2: Числа после первого вычитания в процедуре Капрекара.

Нас интересуют только те числа, где цифры, не все равны между собой, и поэтому справедливо:

a ≥ b ≥ c ≥ d , ≥ ≥ B C D ≥,

Следовательно, мы должны рассмотреть те числа, где (объявление) ≥ (BC).

Так что мы можем игнорировать ту серую зону (серый треугольник в таблице 1), где содержатся эти цифры и где выполняется условие:

(ad) < (bc) . (объявление) <(BC).

Теперь мы можем организовать цифры чисел в таблице в порядке убывания, чтобы получать (и отражать) максимальные числа,  готовые для «второго вычитания» (см. табл.3):

Табл.3

Рис.2

Таблица 3:

Максимальные числа (процедуры Капрекара), ведущие ко «второму вычитанию».

Далее мы можем проигнорировать дубликаты в таблице 2 (серая зона), и у нас останется  всего лишь 30 чисел, по которым может следовать дальнейший процесс процедуры Капрекара.

На Рис.2 (ниже) показаны «маршруты», по которым следуют числовые расчёты при реализации процедуры Капрекара, чтобы достичь константы 6174.

Рис.3

Как же эти 30 чисел достигнут константы 6174?

На этой диаграмме (Рис.3)  читатель может видеть, как именно все четыре цифры номера «фокусируются» в число 6174. И как этот процесс осуществляется за… (самое большее) семь шагов.

Несмотря на полученные результаты, я все же еще думаю, что загадка константы Капрекара не решена…

Думаю Капрекар, который обнаружил этот число, был очень умным человеком и, вероятно, имел достаточно много времени, чтобы глубоко продумать эту загадку…!

Две цифры, цифры пять, шесть и за ...

Выше мы видели, что цифры «четыре» и «три» исходного числа сумели достичь своего уникального ядра быстро, но как насчет других цифр?

Выясняется, что на этот вопрос есть неожиданные ответы для тех, кто не совсем проникся загадкой, кого она не ещё впечатлила.

Пусть эти люди попробуют поэкспериментировать с числами всего из двух цифр, скажем, с числом «28»:

82 - 28 = 54 82 - 28 = 54 54 - 45 =   9 54 - 45 = 9 90 - 09 = 81 90 - 09 = 81 81 - 18 = 63 81 - 18 = 63 63 - 36 = 27 63 - 36 = 27 72 - 27 = 45 72 - 27 = 45 54 - 45 =   9 54 - 45 = 9

Расчёты не займут много времени, но вы сможете убедиться, что все две цифры числа достигнут цели по петле вида:

9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9.

В отличие от 3-х и 4-значных чисел, здесь не существует уникального ядра, состоящего из двух цифр одного числа.

Но, что будет, если мы будем использовать число из пяти цифр?

Существует ли ядро для пяти чисел, как 6174 и 495?

Чтобы ответить на это, мы вновь должны использовать ранее описанный выше процесс анализа. Как и прежде, нам надо будет проверить 120 комбинаций вида (A, B, C, D, E) для ABCDE таковых, что удовлетворяют условиям:

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0 9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ е ≥ 0

и

ABCDE - edcba = ABCDE.

К счастью, на компьютере было уже сделано достаточно много различных расчетов, И на основе этих расчётов стало понятно, что для «пятизначных» чисел в процедуре Капрекара  постоянных «ядер» этой процедуры не существует.

Но все пять цифр такого числа можно на трассе одной из следующих трех «петель»:

71973→83952→74943→62964→71973

71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973 75933→63954→61974→82962→75933

75933 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933 59994→53955→59994 59994 → 53955 → 59994

Малькольм указывал в что проверка этого результата занимает много времени, а ля чисел в пять и шесть цифр – ещё больше. Так что эта работа становится очень скучной! Не творческой!

Чтобы спасти вас от этой участи, следующая таблица показывает нам результаты заранее рассчитанные  «ядра» для чисел с количеством разрядов от двух до десяти цифр (подробнее см.

На основе расчётных данных можно сделать вывод, что процедура Капрекара «выходит» (для каждого числа) на уникальное ядро только для трех и четырех цифр этого числа.

Табл.4

Красивая константа, но разве особенная?

Мы уже видели, что все трёхзначные числа достигнут ядра 495, а все четырёхзначные числа достигнут константы 6174.

Но я еще не объяснил, почему все такие числа способны достичь своих уникальных ядер.

Является ли это случайностью или же есть некоторые глубокие математические причины тому, почему это происходит?

Красивые и загадочные результаты. Может это просто случайность.

Давайте остановимся  и рассмотрим красивые головоломки от Юкио Ямамото (Япония).

Если умножить два пятизначных числа так, как это показано на Рис.4, то сможете ли вы  получить в результате то, что там изображено, а именно, число - 123456789.

Можете ли вы догадаться, какие именно две пятизначных числа здесь перемножаются?

Рис.4

Это очень красивая головоломка, и поэтому нетрудно подумать, что за этим стоит большая математическая теория.

Однако, в действительности, эта красота является лишь случайностью,

Есть другие, очень похожи, хотя и не столь красивые примеры.

Например, такие (см. Рис. 5):

Рис.5

 (Мы можем дать вам подсказку чтобы помочь решить эти головоломки.

Если бы я показал вам решение «головоломки» Ямамото, то вы бы вдохновись на её решение, поскольку она - прекрасна,

Что касается проблемы Капрекара

Что касается проблемы Капрекара, то я думаю, что, как и Ямамото, Капрекар неведомым нам образом угадал ответ своей удивительной головоломки …………

Но, тем не менее, я хочу подчеркнуть тот факт, что до сих пор никто в мире не смог доказать, что все  цифры уникальных «ядер» для трех и четырехзначных чисел (495 и 6174) являются случайными.

Скажу больше. Свойство констант Капрекара представляется столь удивительным, что заставляет ожидать:  за ним скрывается некая новая  Большая Теорема в теории чисел…

 Примечание от редакции: многие читатели заметили, что сложение цифр любого из ядер Kaprekar операция всегда равна 9. Выясните, почему в этом статьи.

Ссылки

Kaprekar, DR, "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica , vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993)

Об авторе

Рис.6

Ютака Нишияма (Nishiyama) является профессором университета экономики в Осаке (Япония).

После изучения математики в Университете Киото он отправился на работу в IBM Японии, где проработал 14 лет.

Он увлечён математикой и тем, что происходит в повседневной жизни. Написал семь книг о предметах своих увлечений.

Самой последней его книгой под названием "Загадка пяти лет в природе", он расследует (среди прочего) вопрос о том, почему многие цветы в природе состоят из пяти лепестков.

В настоящее время профессор Ю. Нишияма преподаёт в университете Кембриджа.

Март 2006

Источник:

Сайт «Плюс» http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/ Последнее обновление ( 30.11.2008 г. )   © 2008 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"