Числонавтика — Пифагоровы треугольники одиночных чисел

Пифагоровы треугольники одиночных чисел Автор Фильчев Э.Г.    20.11.2008 г.

Фильчев Э.Г.

http://numbernautics.ru

Пифагоровы треугольники одиночных чисел

Авторское название:

 «Определение пифагоровых треугольников

 для исходного одиночного числа»

        Данная статья иллюстрирует практические возможности новой теории Э.Г. Филичева, которую он назвал системой "m n"-параметров.

        В ранее опубликованных на сайте числонавтике статьях показано происхождение этой системы их нового свойства, открытого им нового, ранее неизвестного  свойства обычных треугольников.

       Теоретический интерес представляет не только само новое свойство, но и прикладные аспекты открытия, которые тоже отражены в публикациях.

       Итак, в статье представлена методика и программа расчета пифагоровых треугольников по одиночному исходному числу.

       Для работы программы необходимо задать исходное число N и поместить это число в матрицу M1. Программа выполнена в редакторе Mathcad Professional. Результат расчета - матрица выходных данных.

       Выходные данные могут быть использованы для различных целей.

Например, для научных исследований дерева пифагоровых троек чисел (ПТ).

Задача:

 «Пусть задано произвольное целое число N.

Необходимо определить все пифагоровы треугольники, имеющие одну из сторон равную значению числа N»

Решение:

В системе «mn» параметров любое число можно записать в виде:

N = n2 + 2mn              ( 1 )

N = 2m2 + 2mn          ( 2 )

N = n2 + 2mn + 2m2 ( 3 )

N = n·( n + 2m )         ( 4 )

N = 2m·( m + n )        ( 5 )

N = ( m + n )2 + m2   ( 6 )

     Из анализа этих формул видно, что если число N - катет

искомого ПТ, то решение поставленной задачи можно искать

по двум методикам

Методика с использованием числа А

    В формулах ( 1 ) и ( 2 ) имеет место общее слагаемое  А = 2mn.

Задавая различные значения А< N, можно, для каждого из А,

определить значения «m n» и далее (по формулам 1,2,3 ) - X,Y,Z.

Задаваемое число А должно пройти все целые значения от 1

до N .

Утверждение 1

«Для любого нечетного числа N

имеется основной пифагоров треугольник вида

ПТ (X, N, X+1)».

   Этот треугольник находится на уровне дерева ПТ, определяемого по формуле уровень = (N - 1):2 "

Пример 1

Пусть N = 85 -- > уровень = (85 -1):2 = 42 -- > m = 42, n =1

X = 2m2 + 2mn = 2·(42)2 + 84= 3612

Y = n2 + 2mn = 1 + 84 =85

Z = X + 1= 3613

-- > Имеем ПТ (3612, 85, 3613).

Пример 2

    Пусть N = 13415 -- >уровень = (13415 -1):2 = 6707 -- > m = 6707, n =1

X = 2m2 + 2mn = 2·(6707)2 + 13414= 89981112

Y = n2 + 2mn = 1 + 13414 =13413

Z = X + 1= 89981113

-- > Имеем ПТ (89981112,13415, 89981113).

Первый цикл

Задается А

Определяется разность N – А

Определяется значение n = ( N – А )1/2

Проверяется целостность числа n

Если n- целое, то с использованием числа А = 2mn,

определяется m = А:(2 · (N – А )1/2)

Если m- целое, то определяется значения

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

Значения по п.3.3 записываются в сводную таблицу

   Циклические вычисления по п.п. 1-3 проводятся для всех

целых значений А< N.

Пример 3

   Дано N = 85 . Необходимо определить все пифагоровы

треугольники один из катетов которых равна 85

   В соответствии с первым циклом

Задается А

Определяется разность N – А

Определяется значение n = (N – А)1/2

Проверяется целостность числа n

Если n- целое, то с использованием числа А = 2mn, определяется m = А : (2 · ( N – А )1/2 )

        Если m- целое, то определяется значения

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

При А=1, А=2, А=3 не выполняется пункт 3.1

При А=4 -- > N - A = 85 - 4 = 81 -- > n = 9 -- >m = А : (2 · (N – А)1/2)

-- >m = 2/9

При А=4 не выполняется пункт 3.3

   Пусть А = 60 -- > 85 - 60 = 25 -- >n = 5 -- > m = 60/10 = 6 -- >

X = n2 + 2mn = 25 + 60 =85

Y = 2m2 + 2mn = 72 + 60 = 132

Z = n2 + 2mn + 2m2 = 132 + 25 = 157

Имеем ПТ(85,132, 157).

Второй цикл

Задается А

Определяется разность N – А

Определяется значение m = ( ( N – А ) :2 )1/2

Проверяется целостность числа

Если m- целое, то с использованием числа А = 2mn, определяется

n = А : ( 2 · ( N – А )1/2)

         Если n- целое, то определяются значения

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

Значения по п.3.3 записываются в сводную таблицу

Циклические вычисления по п.п. 1/3 проводятся для всех значений А< N.

Методика с использованием произведением двух множителей

Определяется представление числа N в виде

произведения двух множителей

На основании формулы ( 4 )

N = n· (n + 2m)

Меньшее число принимаем как n .

Определяется m.

Определяются элементы ПТ

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

Значения по п.2 записываются в сводную таблицу

Расчеты по п.п. 1и 2 проводятся для всех вариантов

представления числа N в виде суммы двух квадратов.

На основании формулы ( 5 )

N = 2m·(m + n)

Меньшее число принимаем как 2m .

Определяется n.

Определяются элементы ПТ

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

    Значения по п.2 записываются в сводную таблицу

Расчеты по п.п. 1и 2 проводятся для всех вариантов

представления числа N в виде суммы двух квадратов.

Меньшее число принимаем как (m + n) .

 Определяется n.

В результате вычислений формируется сводная таблица пифагоровых треугольников в которых одна из сторон равна исходному значению N.

Пример 4

N = n· (n + 2m)

Дано N = 85 .

Необходимо определить все пифагоровы треугольники один из катетов которых равна 85

Решение

 Число 85 имеет всего два представления в виде произведения двух сомножителей 85 = 1· 85 = 5·17

1. Рассмотрим вариант 85 = 1· 85. Здесь n = 1 -- >m = 42.

Такой результат был получен в примере 1.

Имеем ПТ( 3612, 85, 3613 ).

2. Рассмотрим вариант 85 = 5·17. Здесь n = 5

(n + 2m) = 17 -- >m = 6. -- >

X = n2 + 2mn = 52 + 2·6·5 = 85

Y = 2m2 + 2mn = 2· 36 + 60 = 132

Z = n2 + 2mn + 2m2 = 85 + 72 =157

Получили ПТ(85, 132, 157).

Методика с использованием суммы двух квадратов

В этом случае исходное число N - гипотенуза расчетного ПТ.

На основании формулы ( 6 )

N = (m + n)2 + m2

Определяется представление числа N в виде суммы двух квадратов

Меньшее число принимаем как m2 . Определяется m.

Большее число принимаем как (m + n)2.

Определяется (m + n) и далее значение n .

Определяются значения

X = n2 + 2mn

Y = 2m2 + 2mn

Z = n2 + 2mn + 2m2

    Значения по п.3.3 записываются в сводную таблицу

Расчеты по п.п. 1-4 проводятся для всех вариантов представления числа N в виде суммы двух квадратов.

   В результате вычислений формируется сводная таблица пифагоровых треугольников в которых одна из сторон равна исходному значению N.

Пример 5

Дано N = 85 .

Необходимо определить все пифагоровы треугольники один из катетов которых равна 85

Решение

   Число 85 имеет всего два представления в виде суммы двух

квадратов.

85 = 4 + 81 = 36 + 49

   Рассмотрим вариант 85 = 4 + 81.

Здесь m2 = 4 -- >m = 2. -- >(m + n)2 = 81 -- > (m + n) = 9 -- > n = 9 - 2 = 7.

X = n2 + 2mn = 72 + 2·2·7 = 77

Y = 2m2 + 2mn = 2· 4 +28 = 36

Z = n2 + 2mn + 2m2 = 72 + 2·2·7 + 2· 4 = 85

   Получили ПТ (77, 36, 85)

Рассмотрим вариант 85 = 36 + 49. Здесь m2 = 36 -- >m = 6.

-- > (m + n)2 = 49 -- > (m + n) = 7 -- > n = 7 - 6 = 1.

X = n2 + 2mn = 12 + 2·6·1 = 13

Y = 2m2 + 2mn = 2· 36 + 12 = 84

Z = n2 + 2mn + 2m2 = 12 + 2·6·1 + 2·36 = 85

  Получили ПТ (13, 84, 85).

Выводы для N = 85

В результате проведенного расчета получили четыре ПТ

ПТ1 (3612,85,3613), ПТ2 (132,85,157), ПТ3 (77,36,85),

ПТ4 (84,13,85),

Программа расчета пифагоровых треугольников

по одиночному исходному числу

Для работы программы необходимо задать исходное число N

и поместить это число в матрицу M1

Программа выполнена в редакторе Mathcad Professional

Программа расчета дерева с исходного уровня

В программе следующие условия:

X>Y

Все ПТ находятся в секторе 00< α <450

Введено ограничение на расчет дерева ПТ до определенного уровня

в зависимости от заданного значения gmax ( см. таблицу )

Не введена сортировка по углу, которая может быть выполнена

Рекомендуемое максимальное значение gmax = 3279 , при этом

число ПТ в таблице М= 9841.

При выборе больших значений gmax следует соблюдать осторожность

в связи с большим объемом таблицы и возможностями памяти компьютера

В этом случае рекомендуется записать резервную копию файла программы

Средняя градация лучами ПТ сектора 00 < α < 450 может быть определен

По формуле Δα = 162000 = 0.61 " .

                               265720 , где 162000 - число секунд в секторе

265720 - число ПТ (с использованием 12 уровня дерева ПТ)

Расчет дерева ПТ

     Для последующего расчета 9840 ПТ, примем g = 3279.

При первом запуске программы расчет дерева ПТ займет не более 2 минут.

     При последующей работе смена значений η и ξ не требует практически затрат машинного времени.

При g = 9840 матрица М3 будет содержать 29524 ПТ .

Для просмотра всей матрицы необходимо:

Установить курсор в поле матрицы и кликнуть мышкой

Установить курсор на движок (см. справа) и не отпуская его, с помощью мышки выбрать нужный фрагмент матрицы.

Выводы

            Для работы программы необходимо переписать программу

в редакторе MathCat.

            В программе производится расчет матрицы дерева ПТ.

Число ПТ в матрице задается параметром gmax ( см. таблицу )

Так при gmax = 7174452 в секторе от 0 до 45 градусов будем иметь

21523360 ПТ

            В качестве исходных данных может быть принята любое целое число N0..

ВНИМАНИЕ!

           Для некоторых значений N0 программа не выдает данных.

Это означает, что при заданном gmax в массиве дерева ПТ нет пифагорова треугольника с исходным значением N0.

В этом случае необходимо увеличить gmax.

            Для нечетного значения N0 максимальный уровень дерева ПТ определяется по формуле уровень = (N0 -1):2 = m

При этом n = 1 - >

X = N0

Y = (N0 -1)2 : 2 + (N0 -1)

Z = (N0 -1)2 : 2 + N0

              Результат расчета - матрица выходных данных (см. А10)

Выходные данные могут быть использованы для различных целей. Например, для исследований дерева ПТ.

Автор с благодарностью примет все замечания, предложения и оценки

Этот e-mail защищен от спам-ботов. Для его просмотра в вашем браузере должна быть включена поддержка Java-script

Последнее обновление ( 20.11.2008 г. )   © 2008 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"