Числонавтика — Десятичное исчисление иррациональных чисел

Десятичное исчисление иррациональных чисел Автор Д. Клещёв    28.05.2008 г.

Д.Клещев

Десятичное исчисление иррациональных чисел   

Актуальная бесконечность не существует

 как бесконечное тело или величина…

Бесконечность существует потенциально,

 бесконечное проявляется в движении…  

Аристотель

Аристотель, видевший одну из главных ошибок многих античных мыслителей в допущении существования «актуальной бесконечности», предостерегал ученых будущего об опасности, исходящей от попыток применения данного понятия.

Тем не менее, понятие «актуальная бесконечность» прочно укоренилось в математике, во многом благодаря появлению в XIX веке теории бесконечных множеств Г.Кантора, давшей замечательные научные всходы, но открывшей при этом бездну сомнений и парадоксов.

На протяжении всего XX века математическому сообществу удавалось скрывать от широкой публики наличие серьезных логических проблем в основаниях математики…

Это было необходимо, чтобы избежать затяжных дискуссий и безрезультатных споров, сконцентрировав внимание математиков на решении конкретных практических задач.

Однако математическое сообщество никогда не отрицало, что в математике существуют неразрешенные фундаментальные проблемы.

Как известно, в 1900 году Гилберт призвал математиков к созданию непротиворечивой науки, ход умозаключений в которой не приводил бы к нелепостям. В 1904 году на этот призыв откликнулся грузинский математик Цермело, опубликовавший теорему об упорядочивании любого множества.

И что же?..

Несмотря на то, что в доказательстве теоремы не было обнаружено ошибок, предложение Цермело было отвергнуто с ссылкой на то, что из данной теоремы не следует никакого общего для всех множеств способа упорядочения!

И каждый, кого не устраивали рамки устоявшегося в математике «канона», претерпевал неудачу, сталкиваясь с непреодолимой стеной корпоративных интересов.

Гораздо сильнее и удобнее была позиция других ученых. Тех, кто предлагал ничего не менять и не предпринимать «бессмысленных» шагов к выведению математической науки из своеобразного состояния неопределенности.

Наиболее ярким примером такого подхода являются работы К.Гёделя, который в 1931 году высказал предположение, что математика в принципе не может быть наукой, лишенной противоречий, а в 1939 году доказавший невозможность ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу континуума Г.Кантора.

Не удивительно, что к концу XX века в математике сложилось негласное табу на открытое обсуждение «проблемных вопросов».

Но именно в конце XX века произошло событие, о котором до сих пор мало кто знает.

Вопреки суждениям К.Гёделя, российскому математику А.Зенкину удалось доказать, что понятие «актуальной бесконечности» и построенная на данном понятии теория бесконечных множеств Г.Кантора, содержат грубые логические ошибки, несовместимые с законами математики. (А.А.Зенкин, "Ошибка Георга Кантора". - Вопросы философии, 2000, No. 2, 165-168.)  

Поясняя суть доказательства А.Зенкина, Алексей Петрович Стахов в своей научной переписке говорит: «Если  исключить аксиому Г.Кантора из математики и использовать другое представление о бесконечном - "потенциальная бесконечность", то тогда окажется, что "основное уравнение измерения", строго говоря, неверно. То есть все числа, с которыми мы имеем дело, окажутся "вполне упорядоченными"».

Другими словами, учитывая исследования А.Зенкина, мы имеем полное основание вернуться к определению «потенциальной бесконечности», на котором настаивал Аристотель, и постараться выработать такую математическую концепцию, в которой проблема геометрической непрерывности и арифметической дискретности чисел имела бы решение.

В этом смысле гипотеза о периодичности радикалов несводимых к целым числам, высказанная в статье «Постижение иррационального», вполне могла бы послужить толчком к переосмыслению некоторых общепринятых положений математики.    

Как правило, у профессиональных математиков статья «Постижение иррационального» не вызывает ничего, кроме раздражения.

Более того, у специалиста, оперирующего неизвестными большинству людей абстрактными категориями, может возникнуть впечатление, что с помощью гипотезы периодичности несводимых радикалов предпринимается ничем необоснованная дилетантская попытка ниспровергнуть математическую науку.

Но постараемся отбросить эмоции и рассмотрим некоторые аспекты, о которых в статье ничего не говорилось. Быть может, все отнюдь не так очевидно, как может показаться на первый взгляд.

В одном из критических отзывов на статью, который был написан достаточно компетентным специалистом, указывалось, что обнаруженная арифметическая закономерность появления периода (707_) при извлечении квадратных корней из чисел вида 199_800_1 легко объясняется без всякой гипотезы периодичности с помощью элементарной теории пределов (Рис.1).

Так как диагональный квадрат ACEF содержит 2n^2 – 2n – 1 число элементов, то разность евклидовой диагонали AC и евклидовой стороны ACEF, полученной извлечением квадратного корня из 2n^2 – 2n – 1, при n стремящимся к бесконечности будет равна (2^0,5)/2:

Рис.1

Однако теория пределов никак не подтверждает несостоятельность гипотезы периодичности. Напротив, по объективным причинам может быть использована для ее подтверждения и проверки.

Ведь если n будет являться десятичным числом 1000_ (число, необходимое для получения диагонального квадрата 199_800_1), то для единичной клетки станет возможно аналогичное разбиение, кратное числу 1000_, с появлением очередной, еще более меньшей, единичной клетки, евклидовая длина диагонали у которой вновь окажется в два раза меньше кв. корня из двух.

Такое десятичное разбиение можно продолжать до бесконечности, и оно будет соответствовать разрядности каждого последующего периода десятичной дроби 1,414_707_(707_). Причем, каждое последующее разбиение будет приближать нас к евклидовому значению диагонали AC.                      

Но, пожалуй, главной причиной настороженности математиков является не геометрическое, а арифметическое обоснование периодичности кв. корня из двух.

Действительно, в статье «Постижение иррационального» была использована запись числа m/n в виде 1414_707_ - 1414_/999_000_= 1414_707_(707_). Квадрат данного числа был представлен следующим образом:

Рис.2

Данная запись была основана на утверждении, что «правила перевода десятичных дробей в обыкновенные продолжают выполняться не только для первого, но и для любого другого периода десятичной дроби, в том числе, и для бесконечно большого числа периодов».

При этом (без всякого преднамеренного умысла со стороны автора) был обойден один принципиально важный момент.

Согласно логике, идущей от Аристотелевского представления о «потенциальной бесконечности», чтобы поставить такой знак равенства, сославшись на «бесконечно большой шаг приближения», необходимо, чтобы действие выполнялось для конечных чисел, то есть, для конечного шага последовательности 1414_707_(707_).

В противном случае, гипотеза периодичности мало чем будет отличаться от идей, вытекающих из допущения о существовании «актуальной бесконечности», согласно которым считается обоснованным равенство 199(9)=1999∞х1х2х3∞, где х1х2х3∞  – неопределенная бесконечная последовательность, состоящая не только из 9, получаемая при возведении в квадрат непериодической десятичной дроби 1,414…

Итак, постараемся привести по возможности наиболее подробное разъяснение, каким образом с помощью десятичных дробей квадрат отношения конечных чисел вида 1414_707_ - 1414_/999_000_ может быть приравнен к значению 2.  

Для начала возьмем калькулятор и запишем квадраты чисел, образующихся в числителе дроби m/n на каждом шаге приближения к конечному значению 1414_707_ - 1414_:

147-14=133; 133^2=17689

14170-141=14029; 14029^2=196812841

1414707-1414=1413293; 1413293^2=1997397103849

141427071-14142=141412929; 141412929^2=19997616488359041

14142170710-141421=14142029289; 14142029289^2=199996992410933845521

1414213707106-1414213=1414212292893; 1414212292893^2=1999996409369676418309449

141421357071067-14142135=141421342928932; 141421342928932^2=

=19999996235822584996402660624

14142135670710678-141421356=14142135529289322; 14142135529289322^2=

=1,9999999732878737171212638321968e+32

Поскольку квадрат конечной последовательности 1414_, получаемой домножением на соответствующую десятичную разрядность числа 1,414_, стоящего до начала периода в периодической десятичной дроби 1,414_707_ (707_), должен быть равен числу вида 199_800_1, то заканчиваться данная последовательность 1414_ должна либо на 1, либо на 9.

Так как только таким образом можно при возведении ее в квадрат получить _1 в конце конечного числа 199_800_1.

Поскольку период (707_) задается делением на 2 числа 1414_ (в конце которого стоит либо 1, либо 9), то при делении 1414_/2 получим число вида 707_,5.

Благодаря тому, что на конечном шаге приближения десятичный остаток 0,5 совпадает с недостающей «мощностью» всего бесконечного множества, задаваемого периодом дроби 1,414_707_(707_), в чем мы уже убедились на примере элементарной теории пределов, то для конечного числа 1414_707_, стоящего в числителе 1414_707_ - 1414_, данный остаток можно сократить на «мощность» периода.

Действительно, включение десятичного остатка 0,5 в некое целое число 1414_707_5 означало бы, что вместо бесконечного периода (707_) мы пытаемся получить нулевой период, то есть свести десятичную дробь 1,414_707_(707_) к некой десятичной дроби с нулевым периодом, что недопустимо.

(Здесь понятие «мощность» лингвистически заимствованно из теории бесконечных множеств и означает количественное равенство отброшенного десятичного остатка 0,5 для каждого конечного шага периода и недостатка (2^0,5)/2 в пределе для всего бесконечного множества, образуемого последовательностью 1,414_707_(707_) при десятичном значении n, стремящимся к бесконечности.

Однако, не стоит забывать, что в нашей гипотезе мы исходим из представления о «потенциальной бесконечности» и класс рассматриваемых иррациональных чисел, образующихся при извлечении корней из несводимых радикалов, принимаем за вполне упорядоченные периодические десятичные дроби, а значит, не стоит путать данное понятие с тем, которое применяется в теории множеств.

Под равенством «мощности» конечного остатка и недостающего значения для всей бесконечной упорядоченной последовательности мы подразумеваем возможность разбиения конечного остатка на бесконечное число элементов, эквивалентное десятичному недостатку для всей бесконечной упорядоченной последовательности)

 Порядок и разрядность в расположении цифр, получаемых на каждом шаге приближения к конечному значению числителя 1414_707_ - 1414_, возведенному в квадрат, указывает, что, в случае существования у кв. корня из двух десятичного периода, после возведения данного числителя в квадрат, мы получим конечное целое число вида 199_700_000_1000.

Действительно:

133^2=1_7_6_89

14029^2=19_68_12_841

1413293^2=199_739_710_3849

141412929^2=1999_7616_4883_59041

14142029289^2=19999_69924_10933_845521

1414212292893^2=199999_640936_967641_8309449

141421342928932^2=1999999_6235822_5849964_02660624

14142135529289322^2=1,9999999_73287873_71712126_38321968e+32

Но тогда мы придем к результату, который, возможно, не ожидали получить, априорно стремясь к нахождению для несводимого радикала, выражаемого периодической десятичной дробью с периодом, отличным от (0), в точности такого же арифметического тождества, которое получается при нахождении целочисленных корней, выражаемых периодическими десятичными дробями с периодом (0).

То есть, для конечного шага приближения в рассматриваемом примере будет выполнимо арифметическое тождество:

Рис.3

Тогда для бесконечно большого шага приближения можно записать:

Рис.4

Но в статье «Постижение иррационального» запись для бесконечно большого шага приближения была приравнена к 1,99(9).

Именно тождество 1,99(9)=2=2,0(0)_1 является главной причиной непонимания и отрицания со стороны математического сообщества гипотезы периодичности несводимых радикалов, потому что подобное тождество бесконечного приближения с недостатком 1,99(9) и бесконечного приближения с избытком 2,0(0)_1 не записано ни в одном учебнике по математике, а значит, с точки зрения официального формализма не может быть использовано в качестве правила обращений с десятичными дробями.

Между тем, как раз формальное применение правил перевода десятичных дробей в обыкновенные (которое, заметим, выполняется для 1,99(9) и используется в современной математике для обоснования тождества 1,99(9)=2 делает возможным и равенство вида  1,99(9)=2=2,0(0)_1.

Так, для бесконечного приближения с недостатком 2,00(0)_ –1 = 1,99(9) правила перевода десятичных дробей в обыкновенные дают:

Рис.5

Для бесконечного приближения с избытком 2,00(0)_ 1, используя те же самые правила перевода, получаем:

Рис.6

Как видим, тождество 1,99(9)=2=2,0(0)_1 для десятичных приближений с избытком и недостатком не приводит ни к каким логическим противоречиям.

Не создает никаких исключений из правил, в отличие от известных канонов «классической» математики, в которой к логическому противоречию приводит уже то, что периодические десятичные дроби с периодом (9), для которых выполняются правила перевода десятичных дробей в обыкновенные и которые можно представить в виде целых чисел m/n, НЕ ЯВЛЯЮТСЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ! («…Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, период которой отличен от (9).

Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от (9), является рациональным числом…», - Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова. «Алгебра и элементарные функции», Москва, изд. «Просвещение», 1966 г., , Ч.I., С.85)

То есть, в «классической» математике де-факто допускается существование периодических иррациональных чисел.

А раз так, то гипотезу периодичности несводимых радикалов вряд ли стоит представлять как некое ниспровержение математики.

Легко убедиться, что все, что было сказано выше для кв. корня из 2, будет справедливо и для всех других несводимых радикалов. Так, отношение m/n для кв. корня из 3 будет после возведения в квадрат сводиться к приближению 3,0(0)_1, кв. корня из 5 - к приближению 5,0(0)_1 и так далее.

Не смотря на многочисленные официальные препоны и отказ от обсуждения гипотезы периодичности со стороны подавляющего большинства математиков, гипотеза периодичности не может быть опровергнута с помощью неких абстрактных определений «классической» математики, так как базируется исключительно на арифметических и геометрических закономерностях, на правилах, которые объективно выполняются в десятичном исчислении.

 Любой человек, может проверить данную гипотезу на корректность и самостоятельно определить уровень ее достоверности.    

Конечно, выводы, которые следуют из статьи «Постижение иррационального», кардинально расходятся с общепринятыми в современной математике представлениями.

Поскольку в выяснении истины компромисс невозможен, то рано или поздно единственно верным решением будет принято что-то одно. Либо действующие ныне математические утверждения, либо предложенный в этой статье вариант.

Но, похоже, на данный момент наиболее приемлемым

было бы достижение компромисса,

предложенного

Сергеем Георгиевичем Мерзляковым,

считать, что в гипотезе периодичности несводимых радикалов говорится о новом классе чисел, представимых

в виде периодических десятичных дробей.

Это бы позволило, с одной стороны, сохранить существующую математическую теорию, с другой стороны – развивать предложенную концепцию, ведь не исключено, что ее развитие приведет к не менее замечательным результатам, чем развитие теории бесконечных множеств Г.Кантора.

Москва, 25 мая 2008 г.

Последнее обновление ( 29.05.2008 г. )   © 2010 Числонавтика

Яндекс.Метрика


  © Числонавтика портал
Карта сайта: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Сайты партнёров:
"