http://www. numbernautics.ru

© Коваленко Е. Ф.

СПИРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Авторское название «О расширяющихся системах счисления»

Числовая ось – гениальное творение математической мысли – создает неограниченные возможности для отображения на ней числовых значений различных величин (включая иррациональные).

Тем не менее, автор статьи предлагает использовать еще и числовую спираль, частным случаем которой числовая ось является.

В статье рассмотрен новый авторский метод счисления и индексации на основе свойств особых спиралей.

Выявлены огромные практические возможности применения метода в криптографии, системах распознавания и подобных сферах.

Метод свободен от существенного недостатка десятичной системы счёта и индексации, который состоит в том, что там место индексируемого на числовой оси объекта, не предопределяет числа разрядных единиц в нем самом.

В новой же системе индексации номер интервала точно и жестко предопределяет собою число разрядных единиц-индексов.

Важным методологическим преимуществом метода является органичный переход от частных, прямолинейных систем счёта (и индикации) к естественным спиралевидным системам, которые давным-давно пора уже осваивать в нашем мышлении.

-----ХХХ-----

“Природа работает небольшим числом общих принципов”.

Альберт Сент-Дьердьи

Предлагаемая в авторском методе спираль, с одной стороны, бесконечно увеличивает неограниченные возможности оси, а с другой стороны, позволяет жестко увязать любой интервал числовой оси с числом некоторых элементов, содержащихся в этом интервале.

Существуют различные системы счисления, применяемые для различных целей. Самая распространенная система – десятичная. Есть еще двоичная, восьмеричная, где время и углы измеряют с использованием комбинированной системы – десятичной и шестидесятеричной (привет нам, потомкам, от древних шумеров).

Системы, по крайней мере, десятичная система, используются двояко: при производстве расчетов и/или для набора обозначений, присвоения “личных номеров” – индексации, определения адресов телефонов и прочих адресов, выделения из общей массы чего-либо, что индивидуализируется или конкретизируется.

Не исключено, что создание сверхмощных компьютеров и их сетей также в будущем потребует новой системы индексации, позволяющей определением адресата объекта в одном разряде активировать достаточно большое число однозначно связанных с ним номеров-адресатов из других разрядов.

Это могут быть блоки каких-то программ, либо целые отдельные программы, либо даже системные блоки. Пока ещё трудно определить заранее конкретику использования новой возможности, главное, чтобы такая возможность имелась в тот момент, когда в ней возникнет практическая потребность.

Переход от числовой оси к числовой спирали, как представляется автору, предоставляет новую возможность, открывая собой целый класс расширяющихся систем индексации, что мы и покажем в дальнейшем изложении.

Ну, а пока давайте со всевозможной тщательностью

построим эту спираль.

При построении числовой оси не имеет значения расстояние между соседними числами, так сказать, “длина единицы”.

В принципе, она может быть любой, так же, как была исторически произвольной «единица длины» (локоть, фут, сажень и т.д.) в разное время и в различных краях у населения Земли.

Важно не количественное значение длины, отмеряемой на числовой оси единицы, важны пропорции, соотношения единиц, разумеется, в одной системе счисления.

Однако, когда нужно геометрически представить числовую ось или (как нам) построить числовую спираль, необходимо выбрать мерную единицу длины.

Пусть у нас это будет, скажем, 1 см или две клеточки в тетради.

Отложим эту «мерную единицу» на горизонтальной прямой. И обозначим начальную точку (отложенной «мерной единицы») цифрой “0”, а ее конец – цифрой “1”.

В точке “1” восстановим перпендикуляр к начальной прямой, а на этом перпендикуляре вновь отложим ту же «мерную единицу» от точки “1”, обозначив второй ее конец цифрой “2”.

Далее описанную выше процедуру откладывания «мерной единицы» мы будем повторять бесчисленное количество раз. Но при этом договоримся, что всякий раз «начало» откладываемой единицы будет совпадать с «концом» мерной единицы, отложенной в предыдущий раз.

Таким образом, нумерация концов откладываемых единичных мерных отрезков даст нам натуральный ряд чисел:

0, 1, 2, 3, 4, …, n…

Теперь, дальнейшее откладывание единичных отрезков мы будем совершать в одном и том же порядке: соединяя начало наших построений (точка “0”) с концами новых единичных отрезков (точки – числа натурального ряда).

При этом получаем первый прямоугольный треугольничек.

К полученной гипотенузе треугольничка, в точку, совпадающую с концом единичного отрезка – второго катета построенного треугольничка, мы вновь проводим перпендикуляр.

Уточним еще раз: на этот и последующие разы перпендикуляры проводятся к гипотенузе только что построенного треугольничка и на нем мы вновь откладываем единичный отрезок, конец которого соединяем вновь с точкой “0”.

Так получаем второй прямоугольный треугольничек. Точно таким же способом мы действуем и при каждом последующем построении, благодаря чему получаем третий, четвертый и т.д. «треугольнички».

А, в конце концов, получим некий “п-ный” прямоугольный треугольничек, являющийся сектором разворачивающейся спирали (см. Рис.1 ниже).

В результате всех наших построений мы получим ломаную спираль, лучами которой (отрезками, соединяющими места переломов спирали с начальной точкой “0”) будут большие катеты прямоугольных треугольничков-секторов в общей спирали. А саму спираль составят вторые, меньшие катеты, т.е. наши «единичные отрезки».

Сразу же надо отметить, что лучи ломаной спирали служат одновременно и большими катетами каждого строящегося прямоугольного единичного треугольничка-сектора и гипотенузами предыдущего, только что построенного треугольничка-сектора общей спирали.

Действия по построению спирали, как можно заметить, проще, чем их утомительное описание и, хотя бы поэтому, лучше подробнее и даже более педантично следует описать, что надлежит делать на каждом шаге построения.

Уже со второго «сектора-треугольничка» спирали построение превращается в довольно однообразное дело.

Сначала восстановим перпендикуляр к последнему лучу (гипотенузе последнего построенного нами треугольника) в точку пересечения этого луча с последним единичным отрезком (единичным катетом последнего построенного нами треугольничка).

Теперь отложим на этом перпендикуляре единичный отрезок, приняв за его начало конец предыдущего единичного отрезка.

Далее присвоим его концу текущий (очередной) номер и соединим этот конец с нулевой точкой – началом всеобщего построения.

И на этом очередной этап построения у нас заканчивается. Заканчивается тем, что нами выстраивается новый «треугольничек-сектор» на ломаной спирали.

А дальше – новое повторение всё тех же стандартных действий. До бесконечности.

Проблема лишь в том, насколько точно мы восстанавливаем перпендикуляры, откладываем единичные отрезки и соединяем их концы с началом построения – центром нашей ломаной спирали.

В нашей модели новой системы счёта мы будем исходить из того, что все это мы проделывали идеально точно, а также, что нам хватает терпения проделывать описанные выше построения … достаточно долго (см. Рис 1).

Рис.1

А теперь посмотрим на то, что у нас получилось

в результате всех построений.

Обратим внимание на то, что собой представляет из себя числовая ось, компактно свернутая в спираль оцифрованная натуральным рядом чисел.

Спираль, у которой сегментами являются интервалы между соседними числами натурального ряда – «единичные отрезки».

Далее видим: каждому интервалу соответствуют два луча, проведенные из нулевой точки в начало и в конец единичного отрезка – сегмента (интервала) спирали.

А теперь отметим одну тонкость.

Поскольку каждый из этих лучей принадлежит одновременно двум сегментам-интервалам, условимся считать принадлежащим интервалу тот луч, который проведен в его начало.

Интервалу 1-2 – принадлежит луч 0-1, ибо точка “1” у них общая. Поэтому станем считать, что это 1-й сегмент-интервал и 1-й луч.

А интервалу 2-3 – принадлежит луч 0-2 (соответственно 2-й и 3-й), аналогично интервалу 3-4 – луч 0-3 (3-й и 3-й) и т.д.

Уточним теперь, что луч 0-1 – это не совсем луч, поскольку по нашему построению - это наш исходный (первый) «единичный отрезок», отложенный вдоль горизонтальной прямой.

Его мы принимаем за луч исключительно ради установления единообразия в определении пары “луч-сегмент” в нашей спирали.

Из известных (пифагоровых) соотношений между катетами и гипотенузами в прямоугольных треугольниках нетрудно убедиться, что геометрическая длина лучей выражается такими значениями:

У второго луча – корнем квадратным из 2-х,

У третьего луча – квадратным корнем из 3-х, а далее для 4-го – из 4-х и т.д., «п» - го – корнем квадратным из «п».

Для внесения однообразия и для красоты (как мы ее понимаем) длину первого луча, который мы отмеряли равным единичному отрезку, мы представим себе, как корень квадратный из 1-цы.

Таким образом, мы получили в нашей спирали первое интересное сочетание натурального ряда чисел в нумерации концов сегментов нашей спирали с корнем квадратным из натурального ряда чисел в значении длины ее лучей.

Эта особенность нашей спирали состоит в том, что она отображает собой определенное сочетание всего натурального ряда чисел с полным набором корней квадратных из тех же чисел натурального ряда.

А теперь, если мы решим “развернуть” (спроецировать) нашу спираль на ту прямую, где мы отложили наш самый первый единичный отрезок, то мы отложим на ней числовую ось.

А на ней мы отметим (единичными отрезками-сегментами спирали) все точки-числа натурального ряда, а концами лучей нашей спирали – будут отмечены все точки-значения корней квадратных из чисел натурального ряда.

В общем и целом, не Бог весть, какое, но интересное достижение.

К числовой оси, числам натурального ряда на ней и возможности откладывания на ней корней квадратных из любых чисел, включая иррациональные значения этих корней, нас приучали и многих приучили еще со школьной скамьи.

Хотя, если разобраться, числовая ось – это …

более искусственное в природе явление, чем числовая спираль.

В природе иррационального и спиралевидного

несопоставимо больше,

чем рационального и прямолинейного.

Достаточно внимательно всмотреться в любой объект природы: в расположение листьев на веточке, веток на дереве, в соцветие подсолнуха, расположение чешуек на рыбе, форму морских ракушек.

А расстояния между чем-то одним и чем-то другим в природе создаются безотносительно к тому, с какой «мерой длины» мы к этому сопоставлению подходим.

Поэтому и точные(абсолютные!) измерения у людей – крайняя редкость. Чаще всего получаемые нами числовые значения нам всегда приходится округлять с точностью до какого-либо знака.

А теперь вновь обратимся к нашей спирали.

Обратим внимание, что при “развертке” (проецировании) на начальную прямую спираль образует два ряда цифровых значений. Один ряд – это ряд с числами натурального ряда. А второй ряд – это значения, соответствующие корням квадратным из чисел натурального ряда, появляющиеся, как проекции от сегментов лучей спирали. При этом «скорости» изменений числовых значений обоих рядов существенно различны.

В чём это выражается?

А в том, что в каждый интервал попадает удвоенное (по отношению к номеру интервала) число концов лучей – корней квадратных из чисел натурального ряда.

Например, в интервал 0-1 (нулевой интервал) – попадает 0 корней квадратных.

В интервал 1-2 (1-й интервал) – попадает 2 корня.

А во второй интервал – 4, в третий - 6 и т.д., в «п» - й – 2п корней квадратных.

Нетрудно уточнить и то, какие именно корни квадратные попадают в тот или иной интервал.

В 1-й (на интервале 1-2) – конкретно попадают корни квадратные из 2-х и 3-х , то есть, из чисел натурального ряда между 1-цей в квадрате и 2-мя в квадрате).

Во второй (на интервале 2-3) – попадают квадратные корни из 5, 6, 7 и 8-и (между 2-мя в квадрате и 3-мя в квадрате) и т.д.,

В «п» - й интервал попадает «2п» штук квадратных корней из последовательного натурального ряда чисел, заключенных между значениями чисел «п» в квадрате и («п»+1) в квадрате.

Это закономерность выявляет другую закономерность,

не менее любопытную.

В правильности этого утверждения можно убедиться двояко.

Либо прямым перебором (только не стоит только брать чересчур большие числа - долго считать придется).

Либо, исходя из общей формулы суммы нечетных чисел от 1-цы до (2п-1). Сумма первого и последнего нечетных чисел, деленная на два и умноженная на число нечетных чисел, составляющее «п» штук.

Кстати, число всех иррациональных корней квадратных из чисел натурального ряда, попадающих во все интервалы натурального числового ряда от 1-цы до «п», по той же формуле равно «п» в квадрате.

«0» штук в интервале 0-1 плюс «2п» штук в последнем «п» - ном, деленное на 2 и умноженное на число интервалов «п».

Пока что автор не знает, какую практическую ценность можно извлечь из этих особенностей развёрнутой и спроектированной на прямую линию числовой спирали,

Однако напомню, что мы условились первым лучом именовать первый единичный отрезок, отложенный нами на горизонтальную прямую.

Автор уверен, что со временем это определиться и кому-либо удастся использовать эти закономерности для чего-либо важного.

Стоит обратить внимание на то, что “развертка” спирали или последовательно осуществляемое проецирование на прямую, проходящую через первый ее луч, дважды построит сплошную (непрерывную) числовую ось на этой прямой.

Развёртка и проекция дважды размечает (на прямой линии) числа натурального ряда от 0 до «п».

Один раз это сделают единичные отрезки спирали, а другой раз – её лучи. Это “сделают” соответствующие лучи спирали, которые отметят на этой “двойной” числовой оси каждый из иррациональных корней квадратных из чисел натурального ряда.

А теперь посмотрим ещё на один феномен.

Единичные «треугольнички-сектора», падающие на прямую, куда «разворачивается» спираль, своими вершинами (на единичном расстоянии) выстраивают весьма странную линию. Эта линия состоит из отдельных точек – зеркальных отражениях всех точек числовой оси с двойной оцифровкой.

Что это такое?

Это своего рода множество дискретных точек – отражений чисел натурального ряда от 1-цы до «п» и корней квадратных из чисел натурального ряда, расположенных в линию, расположенную параллельно числовой оси и на расстоянии единичного отрезка от нее.

Все вскрытые выше закономерности очевидны и поэтому не требуют аналитических специальных выводов (принцип “смотрю и вижу”).

Тем не менее, главное свойство

придуманного автором метода “развертки”,

как ему кажется, это создание расширяющейся системы индексации.

Назовем новый вид «развёртки» “квадратичной”, поскольку основу ее составляют иррациональные корни квадратные из чисел натурального ряда, попадающие в каждый единичный интервал оси “развертки”.

О системе “расширяющаяся индексации»

Словосочетание “расширяющаяся система индексации” станет нам понятней в процессе рассмотрения принципов ее построения.

Вот принцип построения “квадратичной”системы,

Суть принципа в том, что ее “наполнение” - это иррациональные значения квадратных корней из чисел натурального ряда.

Теперь отметим, что для целей индексации (чего бы то ни было) количественная оценка числа-индекса не имеет значения.

Неважно – больше или меньше, неважно - сколько целых или дробных единиц содержится в том или ином «числе» (символе), который мы воспользуемся в качестве индекса.

Условимся, что в нашей системе это - квадратные корни из чисел натурального ряда, которые мы заменим на их порядковые номера в том или ином интервале-разряде.

А разряды будут определять первые числа единичных интервалов.

Например, разряд в интервале 0-1 – будет у нам «нулевым», а в интервале 1-2 – это будет уже первый разряд и т.д.

В конечном итоге, на оговоренных нами условиях, у нас получится:

00, 0(2х0 + 1) = 10:

Запись, означающая, что последнее число данного разряда равняется первому числу следующего разряда, так же, как и в десятичной системе.

Теперь вспомним, что в интервале 0-1 нашей спирали нет ни одного корня квадратного, так как в этот интервал не попадает проекция “иррациональных” лучей спирали. Поэтому в этом интервале единственное разрядное число – это «0» с индексом 1, число, которое переходит в более высокий, 1-й разряд;

10, 11, 12; 13 = 20 – это последнее число разряда в общем виде: 1(2х1 + 1) = 20.

В этот интервал, как мы помним, попадает два квадратных корня– из 2-х и из 3-х (см. соответствующие индексы 1 и 2).

А последнее число 1-го разряда (корень квадратный из 4-х – это единица (1) с индексом 3), которая равняется первому числу следующего, 2-го разряда;

Далее имеем по аналогии:

20, 21, 22, 23, 24;

Здесь, в интервал попадают корни квадратные из 5-ти, 6-ти, 7-ми и 8-ми.

Пятое число (в интервале) - это корень квадратный из 9-ти.

25 = 30 или в общем виде последнее число разряда: 2(2х2 + 1) = корню квадратному из 9-ти, то есть, последнее число 2-го разряда равняется первому числу следующего, 3-го:

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36; 37 = 40. Или в общем виде последнее число разряда:

3 (2х3 + 1) = 40 – переходит в следующий и т.д.,

и т.д.,

и т.д.

Запишем теперь всё изложенное выше в общем виде:

n0, n1, n2, n3, … , n2n, последнее число разряда:

n(2n + 1) = (n + 1)0 - переходит в следующий, более высокий

(n + 1)-й разряд.

Числовая ось образована первыми числами каждого разряда от 0 до «n». Остальные числа в каждом разряде – это квадратичное расширение каждого из разрядов. Это расширение в общем виде равняется 2хn.

Жесткая взаимосвязь между числами, обозначающими начало и конец выбранного нами любого единичного интервала, и интервалом числовой оси, образованным квадратами этих чисел – достаточно важная особенность квадратичной системы индексации.

Попутно отметим еще раз замечательное свойство в индексации чисел квадратичной системы:

индексы последних чисел каждого из разрядов, сложенные между собой последовательно, дают квадрат номера разряда (порядка), например: (1+3+5) равняется 3-м в квадрате; (1+3+5+7) равняется 4-м в квадрате и т.д.

Свойство суммы последовательного ряда нечетных чисел от 1-цы до (2n–1) мы уже отмечали выше.

Но, в случае с индексацией чисел квадратичной системы, обращает на себя внимание такой факт: в каждом из ее разрядов содержится «2n» индексов и чисел одного разряда.

При этом следующее (последнее) число, переходящее в более высокий разряд, обязательно обладает нечетным индексом.

И, от 0-вого до «n» - го разрядов, индекс переходящего числа возрастает от 1-цы до (2n+1).

Изменение формулы нечетного числа в этом случае объясняется тем, что, в случае с индексацией чисел квадратичной системы, существует «0»-вой разрядный интервал (0-1), которому принадлежит (как последнее в разряде) число 0 с индексом 1 и равное 1.

Однако, ради одной этой особенности создавать систему с таким (пусть и несложным) предварительным построением спирали и последующим ее проецированием на прямую не имело бы смысла, если бы не иная, куда более важная, ее особенность.

Новая закономерность.

Эта новая закономерность состоит в жесткой взаимосвязи номера любого разрядного интервала со значениями индексов его членов, попадающих в этот разрядный интервал.

У нас нет недостатка в наборе индексов любого вида в десятичной системе. На любом интервале числовой оси мы можем набрать бесконечное множество отличающихся друг от друга индексов, дробя этот интервал на десятые, сотые, тысячные и т.д. доли.

Но в этом-то и заключён существенный недостаток применения десятичной системы в качестве средства индексации выделяемых нами по какому-то признаку объектов.

Всякий раз при выборе объекта из общей массы мы вынуждены указывать точный его (объекта) адрес, в каком бы интервале он нами ни был помещен, какое бы место мы за ним ни закрепили.

В десятичной системе интервал, точнее - его место на числовой оси, не предопределяет числа разрядных единиц в нем самом. Любой такой интервал (с точки зрения размещения в нем разрядных единиц - индексов) равен любому другому интервалу на числовой оси.

В квадратичной же системе индексации, как это уже было показано и сказано, номер интервала точно и жестко предопределяет собою число разрядных единиц-индексов.

Например, в 5-м интервале таких индексов может быть только 10 – и никогда больше.

Если же нам для обозначения объектов в однородной группе понадобится 30 индексов, то нам подойдёт 15-й интервал, который обозначит однородность группы. И его номер определит возможное число отличных друг от друга номеров-индексов (в этой группе).

Обратное действие в квадратичной системе – это определение места объекта по его индексу – преимуществ по сравнению с десятичной системой не даст. В этом случае номер индекса точно определяет его место, независимо от примененной системы индексации.

Повторюсь, что пока что трудно определить область применения разработанной нами, т.н. «расширяющейся квадратичной системы индексации» чего-либо.

Возможно, она пригодится для создания неограниченно возрастающей телекоммуникационной сети; а возможно, для конструирования сверхмощных компьютеров; либо для индексации сложнейших систем из таких сетей.

Особенно в том случае, когда активировать целесообразно не всю сеть или систему, а ровно столько блоков (объектов сети), сколько потребуется для решения конкретной объемной задачи.

Представим себе, например, что нам предстоит решать сложную многовариантную задачу на некоем сверхновом гиперкомпьютере.

Варианты решений (на заключительной стадии) сводятся в одно решение, а число вариантов определяется участвующими в постановке задачи (и ее решении) компонентами. И это число заранее определено.

Для такого гипотетического случая вполне могло бы пригодиться программное обеспечение, построенное с использованием авторской «квадратичной индексации».

“Кликнув” “мышкой” некую функцию (или файл), при работе с таким суперкомпьютером, мы не только можем задействовать какой-то системный блок (или “открыть” файл под номером N), но и активировать «2N» других файлов, которые связаны со своим “родоначальником”. По алгоритму системы квадратичной индексации.

Либо мы сможем загрузить вполне определенное число других блоков, входящих в “кликнутых” нами, на условиях их функционального “соподчинения”.

Нужна ли такая возможность?

Не знаю. Может быть, нет. Но, совсем не исключено, что она нужна уже и сегодня. И именно в этот момент кто-то из компьютерных инженеров уже суетливо ищет такую возможность!

А пока что и сама по себе построенная нами особая «числовая спираль» вызывает определенный интерес, поскольку вскрывает закономерности имманентно присущие самим числам и числовым рядам. Обнаруживает органические и закономерные связи разных рядов

Важно отметить также и другое.

Посредством авторского метода «развёртки» (и проецирования) числовой спирали на второй, третий и последующие ее лучи, может быть получен целый класс т.н. «расширяющихся» систем индикации.

При этом длина этих лучей, как это уже отмечалось, представляет собой корни квадратные из чисел натурального ряда.

Важный момент такой оцифровки состоит в том, что при этом порядковый номер луча непосредственно определяет собою значение подкоренного числа в определении его длины.

Так, для 2-го по порядку луча – его длина равняется корню квадратному из 2-х, для третьего луча – корню из 3-х и т.д.

Особенностью такой системы индикации является то, что размечаемый на них “разверткой” спирали натуральный ряд чисел сдвигается относительно начала – «0» точки – на величину длины луча.

А это значит, что числовая ось, полученная “разверткой” (проецированием) спирали на второй луч, будет сдвинута относительно начала (0-й точки оси) на корень квадратный из двух, на третий – на корень квадратный из 3-х, на 17-й – на корень из 17, на «n» -й – на корень квадратный из «n».

При этом в случае, если корень квадратный из числа – число иррациональное, то на числовой оси такой “развертки” нет ни единого рационального числа. Потому что лучей с “иррациональным” номером, как это установлено, в «n» раз больше, чем с “рациональным”.

Следовательно, если нам для чего-то потребуется числовая ось, не содержащая ни единого рационального числа, то у нас (и практически и теоретически) имеется неограниченный выбор среди лучей нашей спирали.

А “развертка” этой спирали даст нам числовую ось с любым, нужным нам “иррациональным” сдвигом относительно начала – 0-вой точки оси.

Вывод: Это уникальное свойство числовой спирали!

И у него практически беспредельные возможности, которые, похоже, уже сейчас могут найти применение в такой важной сфере, как криптография и разработка шифров, а также в сфере создания систем опознавания типа “свой-чужой” и иных подобных делах.

Так, например, шифр, построенный на основе системы координат из пары “иррациональных” лучей, то техническими средствами такой шифр расшифрован быть не может из-за бесконечного числа возможных вариантов отдельных значений и их сочетаний.

Ибо пар такого рода иррациональных лучей в нашей спирали миллионы и миллиарды (!!!),

При всём этом абсолютно строгое математическое доказательство такого утверждения пока привести не представляется возможным.

Но, на основании эмпирического подхода можно утверждать, что ни один из лучей, на который будет осуществлена “развертка” спирали, никогда не совпадёт (по направлению) с каким-либо другим иррационально оцифрованным лучом.

В заключение еще раз особо подчеркнём, что спиралевидные геометрические построения более естественны и органичны для природы, чем прямолинейные. И что прямолинейная числовая ось, вообще говоря, воспринимается хотя и довольно просто, но она – лишь производная (частный случай) спиралевидной числовой оси.

И поэтому – всем нам пора уже взрослеть, дорогие исследователи числовых и геометрических тайн природы…

SciTecLibrary.ru

Нет комментариев.
You need to login or register to post comments.
Обсудить в форуме. (0 комментариев)

Статьи - ЧИСЛОНАВТИКА