Д.Клещев

http://numbernautics.ru

Десятичное исчисление иррациональных чисел   

Актуальная бесконечность не существует

 как бесконечное тело или величина…

Бесконечность существует потенциально,

 бесконечное проявляется в движении…  

Аристотель

Аристотель, видевший одну из главных ошибок многих античных мыслителей в допущении существования «актуальной бесконечности», предостерегал ученых будущего об опасности, исходящей от попыток применения данного понятия.

Тем не менее, понятие «актуальная бесконечность» прочно укоренилось в математике, во многом благодаря появлению в XIX веке теории бесконечных множеств Г.Кантора, давшей замечательные научные всходы, но открывшей при этом бездну сомнений и парадоксов.

На протяжении всего XX века математическому сообществу удавалось скрывать от широкой публики наличие серьезных логических проблем в основаниях математики…

Это было необходимо, чтобы избежать затяжных дискуссий и безрезультатных споров, сконцентрировав внимание математиков на решении конкретных практических задач.

Однако математическое сообщество никогда не отрицало, что в математике существуют неразрешенные фундаментальные проблемы.

Как известно, в 1900 году Гилберт призвал математиков к созданию непротиворечивой науки, ход умозаключений в которой не приводил бы к нелепостям. В 1904 году на этот призыв откликнулся грузинский математик Цермело, опубликовавший теорему об упорядочивании любого множества.

И что же?..

Несмотря на то, что в доказательстве теоремы не было обнаружено ошибок, предложение Цермело было отвергнуто с ссылкой на то, что из данной теоремы не следует никакого общего для всех множеств способа упорядочения!

И каждый, кого не устраивали рамки устоявшегося в математике «канона», претерпевал неудачу, сталкиваясь с непреодолимой стеной корпоративных интересов.

Гораздо сильнее и удобнее была позиция других ученых. Тех, кто предлагал ничего не менять и не предпринимать «бессмысленных» шагов к выведению математической науки из своеобразного состояния неопределенности.

Наиболее ярким примером такого подхода являются работы К.Гёделя, который в 1931 году высказал предположение, что математика в принципе не может быть наукой, лишенной противоречий, а в 1939 году доказавший невозможность ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу континуума Г.Кантора.

Не удивительно, что к концу XX века в математике сложилось негласное табу на открытое обсуждение «проблемных вопросов».

Но именно в конце XX века произошло событие, о котором до сих пор мало кто знает.

Вопреки суждениям К.Гёделя, российскому математику А.Зенкину удалось доказать, что понятие «актуальной бесконечности» и построенная на данном понятии теория бесконечных множеств Г.Кантора, содержат грубые логические ошибки, несовместимые с законами математики. (А.А.Зенкин, "Ошибка Георга Кантора". - Вопросы философии, 2000, No. 2, 165-168.)  

Поясняя суть доказательства А.Зенкина, Алексей Петрович Стахов в своей научной переписке говорит: «Если  исключить аксиому Г.Кантора из математики и использовать другое представление о бесконечном - "потенциальная бесконечность", то тогда окажется, что "основное уравнение измерения", строго говоря, неверно. То есть все числа, с которыми мы имеем дело, окажутся "вполне упорядоченными"».

Другими словами, учитывая исследования А.Зенкина, мы имеем полное основание вернуться к определению «потенциальной бесконечности», на котором настаивал Аристотель, и постараться выработать такую математическую концепцию, в которой проблема геометрической непрерывности и арифметической дискретности чисел имела бы решение.

В этом смысле гипотеза о периодичности радикалов несводимых к целым числам, высказанная в статье «Постижение иррационального», вполне могла бы послужить толчком к переосмыслению некоторых общепринятых положений математики.    

Как правило, у профессиональных математиков статья «Постижение иррационального» не вызывает ничего, кроме раздражения.

Более того, у специалиста, оперирующего неизвестными большинству людей абстрактными категориями, может возникнуть впечатление, что с помощью гипотезы периодичности несводимых радикалов предпринимается ничем необоснованная дилетантская попытка ниспровергнуть математическую науку.

Но постараемся отбросить эмоции и рассмотрим некоторые аспекты, о которых в статье ничего не говорилось. Быть может, все отнюдь не так очевидно, как может показаться на первый взгляд.

В одном из критических отзывов на статью, который был написан достаточно компетентным специалистом, указывалось, что обнаруженная арифметическая закономерность появления периода (707_) при извлечении квадратных корней из чисел вида 199_800_1 легко объясняется без всякой гипотезы периодичности с помощью элементарной теории пределов (Рис.1).

Так как диагональный квадрат ACEF содержит 2n^2 – 2n – 1 число элементов, то разность евклидовой диагонали AC и евклидовой стороны ACEF, полученной извлечением квадратного корня из 2n^2 – 2n – 1, при n стремящимся к бесконечности будет равна (2^0,5)/2:

Рис.1

Однако теория пределов никак не подтверждает несостоятельность гипотезы периодичности. Напротив, по объективным причинам может быть использована для ее подтверждения и проверки.

Ведь если n будет являться десятичным числом 1000_ (число, необходимое для получения диагонального квадрата 199_800_1), то для единичной клетки станет возможно аналогичное разбиение, кратное числу 1000_, с появлением очередной, еще более меньшей, единичной клетки, евклидовая длина диагонали у которой вновь окажется в два раза меньше кв. корня из двух.

Такое десятичное разбиение можно продолжать до бесконечности, и оно будет соответствовать разрядности каждого последующего периода десятичной дроби 1,414_707_(707_). Причем, каждое последующее разбиение будет приближать нас к евклидовому значению диагонали AC.                      

Но, пожалуй, главной причиной настороженности математиков является не геометрическое, а арифметическое обоснование периодичности кв. корня из двух.

Действительно, в статье «Постижение иррационального» была использована запись числа m/n в виде 1414_707_ - 1414_/999_000_= 1414_707_(707_). Квадрат данного числа был представлен следующим образом:

Рис.2

Данная запись была основана на утверждении, что «правила перевода десятичных дробей в обыкновенные продолжают выполняться не только для первого, но и для любого другого периода десятичной дроби, в том числе, и для бесконечно большого числа периодов».

При этом (без всякого преднамеренного умысла со стороны автора) был обойден один принципиально важный момент.

Согласно логике, идущей от Аристотелевского представления о «потенциальной бесконечности», чтобы поставить такой знак равенства, сославшись на «бесконечно большой шаг приближения», необходимо, чтобы действие выполнялось для конечных чисел, то есть, для конечного шага последовательности 1414_707_(707_).

В противном случае, гипотеза периодичности мало чем будет отличаться от идей, вытекающих из допущения о существовании «актуальной бесконечности», согласно которым считается обоснованным равенство 199(9)=1999∞х1х2х3∞, где х1х2х3∞  – неопределенная бесконечная последовательность, состоящая не только из 9, получаемая при возведении в квадрат непериодической десятичной дроби 1,414…

Итак, постараемся привести по возможности наиболее подробное разъяснение, каким образом с помощью десятичных дробей квадрат отношения конечных чисел вида 1414_707_ - 1414_/999_000_ может быть приравнен к значению 2.  

Для начала возьмем калькулятор и запишем квадраты чисел, образующихся в числителе дроби m/n на каждом шаге приближения к конечному значению 1414_707_ - 1414_:

147-14=133; 133^2=17689

14170-141=14029; 14029^2=196812841

1414707-1414=1413293; 1413293^2=1997397103849

141427071-14142=141412929; 141412929^2=19997616488359041

14142170710-141421=14142029289; 14142029289^2=199996992410933845521

1414213707106-1414213=1414212292893; 1414212292893^2=1999996409369676418309449

141421357071067-14142135=141421342928932; 141421342928932^2=

=19999996235822584996402660624

14142135670710678-141421356=14142135529289322; 14142135529289322^2=

=1,9999999732878737171212638321968e+32

Поскольку квадрат конечной последовательности 1414_, получаемой домножением на соответствующую десятичную разрядность числа 1,414_, стоящего до начала периода в периодической десятичной дроби 1,414_707_ (707_), должен быть равен числу вида 199_800_1, то заканчиваться данная последовательность 1414_ должна либо на 1, либо на 9.

Так как только таким образом можно при возведении ее в квадрат получить _1 в конце конечного числа 199_800_1.

Поскольку период (707_) задается делением на 2 числа 1414_ (в конце которого стоит либо 1, либо 9), то при делении 1414_/2 получим число вида 707_,5.

Благодаря тому, что на конечном шаге приближения десятичный остаток 0,5 совпадает с недостающей «мощностью» всего бесконечного множества, задаваемого периодом дроби 1,414_707_(707_), в чем мы уже убедились на примере элементарной теории пределов, то для конечного числа 1414_707_, стоящего в числителе 1414_707_ - 1414_, данный остаток можно сократить на «мощность» периода.

Действительно, включение десятичного остатка 0,5 в некое целое число 1414_707_5 означало бы, что вместо бесконечного периода (707_) мы пытаемся получить нулевой период, то есть свести десятичную дробь 1,414_707_(707_) к некой десятичной дроби с нулевым периодом, что недопустимо.

(Здесь понятие «мощность» лингвистически заимствованно из теории бесконечных множеств и означает количественное равенство отброшенного десятичного остатка 0,5 для каждого конечного шага периода и недостатка (2^0,5)/2 в пределе для всего бесконечного множества, образуемого последовательностью 1,414_707_(707_) при десятичном значении n, стремящимся к бесконечности.

Однако, не стоит забывать, что в нашей гипотезе мы исходим из представления о «потенциальной бесконечности» и класс рассматриваемых иррациональных чисел, образующихся при извлечении корней из несводимых радикалов, принимаем за вполне упорядоченные периодические десятичные дроби, а значит, не стоит путать данное понятие с тем, которое применяется в теории множеств.

Под равенством «мощности» конечного остатка и недостающего значения для всей бесконечной упорядоченной последовательности мы подразумеваем возможность разбиения конечного остатка на бесконечное число элементов, эквивалентное десятичному недостатку для всей бесконечной упорядоченной последовательности)

 Порядок и разрядность в расположении цифр, получаемых на каждом шаге приближения к конечному значению числителя 1414_707_ - 1414_, возведенному в квадрат, указывает, что, в случае существования у кв. корня из двух десятичного периода, после возведения данного числителя в квадрат, мы получим конечное целое число вида 199_700_000_1000.

Действительно:

133^2=1_7_6_89

14029^2=19_68_12_841

1413293^2=199_739_710_3849

141412929^2=1999_7616_4883_59041

14142029289^2=19999_69924_10933_845521

1414212292893^2=199999_640936_967641_8309449

141421342928932^2=1999999_6235822_5849964_02660624

14142135529289322^2=1,9999999_73287873_71712126_38321968e+32

Но тогда мы придем к результату, который, возможно, не ожидали получить, априорно стремясь к нахождению для несводимого радикала, выражаемого периодической десятичной дробью с периодом, отличным от (0), в точности такого же арифметического тождества, которое получается при нахождении целочисленных корней, выражаемых периодическими десятичными дробями с периодом (0).

То есть, для конечного шага приближения в рассматриваемом примере будет выполнимо арифметическое тождество:

Рис.3

Тогда для бесконечно большого шага приближения можно записать:

Рис.4

Но в статье «Постижение иррационального» запись для бесконечно большого шага приближения была приравнена к 1,99(9).

Именно тождество 1,99(9)=2=2,0(0)_1 является главной причиной непонимания и отрицания со стороны математического сообщества гипотезы периодичности несводимых радикалов, потому что подобное тождество бесконечного приближения с недостатком 1,99(9) и бесконечного приближения с избытком 2,0(0)_1 не записано ни в одном учебнике по математике, а значит, с точки зрения официального формализма не может быть использовано в качестве правила обращений с десятичными дробями.

Между тем, как раз формальное применение правил перевода десятичных дробей в обыкновенные (которое, заметим, выполняется для 1,99(9) и используется в современной математике для обоснования тождества 1,99(9)=2 делает возможным и равенство вида  1,99(9)=2=2,0(0)_1.

Так, для бесконечного приближения с недостатком 2,00(0)_ –1 = 1,99(9) правила перевода десятичных дробей в обыкновенные дают:

Рис.5

Для бесконечного приближения с избытком 2,00(0)_ 1, используя те же самые правила перевода, получаем:

Рис.6

Как видим, тождество 1,99(9)=2=2,0(0)_1 для десятичных приближений с избытком и недостатком не приводит ни к каким логическим противоречиям.

Не создает никаких исключений из правил, в отличие от известных канонов «классической» математики, в которой к логическому противоречию приводит уже то, что периодические десятичные дроби с периодом (9), для которых выполняются правила перевода десятичных дробей в обыкновенные и которые можно представить в виде целых чисел m/n, НЕ ЯВЛЯЮТСЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ! («…Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, период которой отличен от (9).

Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от (9), является рациональным числом…», - Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова. «Алгебра и элементарные функции», Москва, изд. «Просвещение», 1966 г., , Ч.I., С.85)

То есть, в «классической» математике де-факто допускается существование периодических иррациональных чисел.

А раз так, то гипотезу периодичности несводимых радикалов вряд ли стоит представлять как некое ниспровержение математики.

Легко убедиться, что все, что было сказано выше для кв. корня из 2, будет справедливо и для всех других несводимых радикалов. Так, отношение m/n для кв. корня из 3 будет после возведения в квадрат сводиться к приближению 3,0(0)_1, кв. корня из 5 - к приближению 5,0(0)_1 и так далее.

Не смотря на многочисленные официальные препоны и отказ от обсуждения гипотезы периодичности со стороны подавляющего большинства математиков, гипотеза периодичности не может быть опровергнута с помощью неких абстрактных определений «классической» математики, так как базируется исключительно на арифметических и геометрических закономерностях, на правилах, которые объективно выполняются в десятичном исчислении.

 Любой человек, может проверить данную гипотезу на корректность и самостоятельно определить уровень ее достоверности.    

Конечно, выводы, которые следуют из статьи «Постижение иррационального», кардинально расходятся с общепринятыми в современной математике представлениями.

Поскольку в выяснении истины компромисс невозможен, то рано или поздно единственно верным решением будет принято что-то одно. Либо действующие ныне математические утверждения, либо предложенный в этой статье вариант.

Это бы позволило, с одной стороны, сохранить существующую математическую теорию, с другой стороны – развивать предложенную концепцию, ведь не исключено, что ее развитие приведет к не менее замечательным результатам, чем развитие теории бесконечных множеств Г.Кантора.

Москва, 25 мая 2008 г.

Нет комментариев.
You need to login or register to post comments.
Обсудить в форуме. (0 комментариев)

Статьи - АРТЕФАКТЫ РЕАЛЬНОСТИ